Упр.55.9 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
- Решите уравнение: а) $$\sqrt{7x-6}=x$$; б) $$x+3=\sqrt{2x+9}$$; в) $$\sqrt{6x-11}=x-1$$; г) $$-x-5=\sqrt{7x+23}$$.
а) $$\sqrt{7x-6}=x$$
Область допустимых значений:
$$\begin{cases} 7x-6\ge 0,\\ x\ge 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x\ge \dfrac67,\\ x\ge 0 \end{cases}$$
Значит, $$x\ge \dfrac67$$.
Возведём уравнение в квадрат:
$$7x-6=x^2$$
$$x^2-7x+6=0$$
$$(x-1)(x-6)=0$$
$$x_1=1,\quad x_2=6$$
Оба корня удовлетворяют ОДЗ.
б) $$x+3=\sqrt{2x+9}$$
Область допустимых значений:
$$\begin{cases} 2x+9\ge 0,\\ x+3\ge 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x\ge -\dfrac92,\\ x\ge -3 \end{cases}$$
Значит, $$x\ge -3$$.
Возведём уравнение в квадрат:
$$(x+3)^2=2x+9$$
$$x^2+6x+9=2x+9$$
$$x^2+4x=0$$
$$x(x+4)=0$$
$$x_1=0,\quad x_2=-4$$
Число $$-4$$ не подходит по ОДЗ, поэтому остаётся $$x=0$$.
в) $$\sqrt{6x-11}=x-1$$
Область допустимых значений:
$$\begin{cases} 6x-11\ge 0,\\ x-1\ge 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x\ge \dfrac{11}{6},\\ x\ge 1 \end{cases}$$
Значит, $$x\ge \dfrac{11}{6}$$.
Возведём уравнение в квадрат:
$$6x-11=(x-1)^2$$
$$6x-11=x^2-2x+1$$
$$x^2-8x+12=0$$
$$(x-2)(x-6)=0$$
$$x_1=2,\quad x_2=6$$
Оба корня удовлетворяют ОДЗ.
г) $$-x-5=\sqrt{7x+23}$$
Правая часть неотрицательна, значит и левая должна быть неотрицательной:
$$-x-5\ge 0 \Rightarrow x\le -5$$
Кроме того,
$$7x+23\ge 0 \Rightarrow x\ge -\dfrac{23}{7}$$
Но одновременно выполнить условия $$x\le -5$$ и $$x\ge -\dfrac{23}{7}$$ невозможно, так как $$-\dfrac{23}{7}>-5$$.
Следовательно, решений нет.
Ответ
а) $$1; 6$$; б) $$0$$; в) $$2; 6$$; г) решений нет.
