Упр.55.7 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Задача

Докажите, что уравнение не имеет корней:

а) $$\sqrt{3x-5}=\sqrt{9-7x}$$;

б) $$\sqrt{x^2-4}+\sqrt{1-x^2}=4$$.

Подробный ответ

а) Рассмотрим уравнение $$\sqrt{3x-5}=\sqrt{9-7x}.$$

Для существования корней нужно, чтобы подкоренные выражения были неотрицательны:

$$\begin{cases} 3x-5\ge 0,\\ 9-7x\ge 0. \end{cases}$$

Отсюда

$$\begin{cases} x\ge \dfrac{5}{3},\\ x\le \dfrac{9}{7}. \end{cases}$$

Но одновременно эти неравенства выполниться не могут, так как $$\dfrac{5}{3}>\dfrac{9}{7}.$$ Значит, область допустимых значений пуста, и уравнение корней не имеет.

б) Рассмотрим уравнение $$\sqrt{x^2-4}+\sqrt{1-x^2}=4.$$

Для существования выражения нужно, чтобы

$$\begin{cases} x^2-4\ge 0,\\ 1-x^2\ge 0. \end{cases}$$

То есть

$$\begin{cases} x^2\ge 4,\\ x^2\le 1. \end{cases}$$

Одновременно эти условия невозможны, так как $$4>1.$$ Следовательно, область допустимых значений пуста, поэтому уравнение не имеет корней.