Упр.55.6 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

• а) $$\frac{x^2+3x-1}{x^2+1}=3$$;
• б) $$\frac{\sin x+1}{\sin x+2}=0{,}5$$.

а) Рассмотрим уравнение $$\frac{x^2+3x-1}{x^2+1}=3.$$

Знаменатель $$x^2+1$$ при любых $$x$$ положителен, значит, можно умножить обе части уравнения на $$x^2+1$$:

$$x^2+3x-1=3(x^2+1)$$

$$x^2+3x-1=3x^2+3.$$

Получили второе уравнение. Следовательно, уравнения равносильны.

Ответ: да, равносильны.

б) Рассмотрим уравнение $$\frac{\sin x+1}{\sin x+2}=0{,}5.$$

Знаменатель $$\sin x+2$$ всегда положителен, так как $$-1\le \sin x\le 1,$$ значит $$\sin x+2\ge 1.$$ Поэтому можно умножить обе части уравнения на $$\sin x+2$$:

$$\sin x+1=0{,}5(\sin x+2)$$

$$\sin x+1=0{,}5\sin x+1.$$

Получили второе уравнение. Следовательно, уравнения равносильны.

Ответ: да, равносильны.