Упр.55.3 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
Придумайте три уравнения, равносильные уравнению:
а) $$\sqrt{2x-1}=3$$;
б) $$\cos x=3$$;
в) $$\lg x^2=4$$;
г) $$\frac{x^3}{5}=-1$$.
Используем определение равносильных уравнений: уравнения равносильны, если имеют одно и то же множество решений.
$$\sqrt{2x-1}=3$$
Возведём обе части в квадрат:
$$2x-1=9$$
$$2x=10$$
$$x=5$$
Тогда можно придумать, например, такие равносильные уравнения:
$$7x=35$$
$$9-x=4$$
$$x^2=25$$
$$\cos x=3$$
Так как $$-1\le \cos x \le 1$$, решений нет.
Значит, подойдут любые уравнения, не имеющие решений, например:
$$\frac{5}{x}=0$$
$$\sin 2x=-7$$
$$x^4=-23$$
$$\lg x^2=4$$
Тогда
$$x^2=10^4=10000$$
$$x=\pm 100$$
Равносильные уравнения:
$$\frac{|x|}{4}=25$$
$$|x|=100$$
$$x^2=10000$$
$$x^{\frac{3}{5}}=-1$$
При вещественных значениях $$x$$ это уравнение не имеет решений, так как $$x^{\frac{3}{5}}=\sqrt[5]{x^3}$$ определено для всех вещественных $$x$$, но не может быть равно отрицательному числу при соответствующем условии из исходного решения.
Можно привести, например, такие равносильные уравнения без решений:
$$x^3=-1$$
$$x^{15}=-1$$
$$x^7=-1$$
Ответ: а) $$7x=35$$, $$9-x=4$$, $$x^2=25$$; б) $$\frac{5}{x}=0$$, $$\sin 2x=-7$$, $$x^4=-23$$; в) $$\frac{|x|}{4}=25$$, $$|x|=100$$, $$x^2=10000$$; г) $$x^3=-1$$, $$x^{15}=-1$$, $$x^7=-1$$.
