Упр.55.2 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Равносильно ли уравнение $$\sin x=0$$ уравнению:

а) $$\cos x=1$$;

б) $$\operatorname{tg}x=0$$;

в) $$\cos 2x=1$$;

г) $$\sqrt{x-1}\cdot\sin x=0$$?

Рассмотрим уравнение $$\sin x=0.$$ Его решения:

$$x=\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

а)

Для уравнения $$\cos x=1$$ имеем:

$$x=2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

Это не совпадает с множеством решений $$\sin x=0$$, значит, уравнения неравносильны.

б)

Для уравнения $$\tg x=0$$ получаем:

$$x=\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

Множества решений совпадают, значит, уравнения равносильны.

в)

Решим уравнение $$\cos 2x=1$$:

$$\cos 2x=1 \\\\ 2x=2\pi n \\\\ x=\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

Это то же самое множество решений, что и у $$\sin x=0$$, значит, уравнения равносильны.

г)

Рассмотрим уравнение $$\sqrt{x-1}\cdot \sin x=0.$$ Оно имеет смысл при

$$x-1\ge 0,\quad x\ge 1.$$

Произведение равно нулю, если

$$\sqrt{x-1}=0 \quad \text{или} \quad \sin x=0.$$

Тогда получаем:

$$x=1 \quad \text{или} \quad x=\pi n,\quad n\in\mathbb{Z},\ n\ge 1.$$

Множество решений отличается от решений уравнения $$\sin x=0$$, значит, уравнения неравносильны.

Ответ: а) неравносильны; б) равносильны; в) равносильны; г) неравносильны.