Упр.55.12 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) $$\sin 2x\sqrt{4-x^2}=0$$;

б) $$(\cos 2x-1)\sqrt{9-x^2}=0$$;

в) $$(\cos^2 x-\sin^2 x)\sqrt{1-x^2}=0$$;

г) $$\tan x\sqrt{16-x^2}=0$$.

а) $$\sin 2x\cdot \sqrt{4-x^2}=0.$$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, при условии существования корня:

$$4-x^2\ge 0 \;\Rightarrow\; -2\le x\le 2.$$

1) $$\sin 2x=0 \;\Rightarrow\; 2x=\pi n \;\Rightarrow\; x=\frac{\pi n}{2}.$$

2) $$4-x^2=0 \;\Rightarrow\; x=\pm 2.$$

С учётом $$-2\le x\le 2$$ получаем:

$$x=-2,\;-\frac{\pi}{2},\;0,\;\frac{\pi}{2},\;2.$$

б) $$\bigl(\cos 2x-1\bigr)\sqrt{9-x^2}=0.$$

Область определения:

$$9-x^2\ge 0 \;\Rightarrow\; -3\le x\le 3.$$

1) $$\cos 2x-1=0 \;\Rightarrow\; \cos 2x=1 \;\Rightarrow\; 2x=2\pi n \;\Rightarrow\; x=\pi n.$$

2) $$9-x^2=0 \;\Rightarrow\; x=\pm 3.$$

С учётом $$-3\le x\le 3$$ получаем:

$$x=-3,\;0,\;3.$$

в) $$\bigl(\cos^2 x-\sin^2 x\bigr)\sqrt{1-x^2}=0.$$

Область определения:

$$1-x^2\ge 0 \;\Rightarrow\; -1\le x\le 1.$$

1) $$\cos^2 x-\sin^2 x=0 \;\Rightarrow\; \cos 2x=0 \;\Rightarrow\; 2x=\frac{\pi}{2}+\pi n \;\Rightarrow\; x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}.$$

2) $$1-x^2=0 \;\Rightarrow\; x=\pm 1.$$

С учётом $$-1\le x\le 1$$ получаем:

$$x=-1,\;-\frac{\pi}{4},\;\frac{\pi}{4},\;1.$$

г) $$\tg x\cdot \sqrt{16-x^2}=0.$$

Область определения:

$$16-x^2\ge 0 \;\Rightarrow\; -4\le x\le 4.$$

1) $$\tg x=0 \;\Rightarrow\; x=\pi n.$$

2) $$16-x^2=0 \;\Rightarrow\; x=\pm 4.$$

С учётом $$-4\le x\le 4$$ получаем:

$$x=-4,\;-\pi,\;0,\;\pi,\;4.$$

Ответ

а) $$\left\{-2,\,-\frac{\pi}{2},\,0,\,\frac{\pi}{2},\,2\right\};$$ б) $$\{-3,\,0,\,3\};$$ в) $$\left\{-1,\,-\frac{\pi}{4},\,\frac{\pi}{4},\,1\right\};$$ г) $$\{-4,\,-\pi,\,0,\,\pi,\,4\}.$$