Упр.55.10 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

• а) $$\sqrt{x^4-3x-1}=x^2-1$$;
• б) $$\sqrt{x^4-3x-1}=1-x^2$$;
• в) $$\sqrt{x^4+x-9}=1-x^2$$;
• г) $$\sqrt{x^4+x-9}=x^2-1$$.

а) $$\sqrt{x^4-3x-1}=x^2-1.$$

Возведём обе части в квадрат:

$$x^4-3x-1=(x^2-1)^2=x^4-2x^2+1.$$

Получаем:

$$2x^2-3x-2=0.$$

$$D= (-3)^2-4\cdot 2\cdot(-2)=9+16=25.$$

$$x_{1,2}=\frac{3\pm 5}{4}, \quad x_1=-\frac12,\; x_2=2.$$

Проверка показывает, что $$x=-\frac12$$ не подходит, а при $$x=2$$ равенство верно.

б) $$\sqrt{x^4-3x-1}=1-x^2.$$

Возведём обе части в квадрат:

$$x^4-3x-1=(1-x^2)^2=1-2x^2+x^4.$$

Тогда

$$2x^2-3x-2=0.$$

$$D=25,\quad x_{1,2}=\frac{3\pm 5}{4}.$$

Получаем $$x_1=-\frac12,\; x_2=2.$$

Но из условия $$1-x^2\ge 0$$, значит $$|x|\le 1$$. Поэтому подходит только $$x=-\frac12$$.

в) $$\sqrt{x^4+x-9}=1-x^2.$$

Из условия должно быть одновременно:

$$x^4+x-9\ge 0,\qquad 1-x^2\ge 0.$$

Но $$1-x^2\ge 0$$ означает $$|x|\le 1$$, а при этом

$$x^4+x-9\le 1+1-9=-7<0.$$

Следовательно, решений нет.

г) $$\sqrt{x^4+x-9}=x^2-1.$$

Возведём обе части в квадрат:

$$x^4+x-9=(x^2-1)^2=x^4-2x^2+1.$$

Получаем:

$$2x^2+x-10=0.$$

$$D=1+80=81,\quad x_{1,2}=\frac{-1\pm 9}{4}.$$

$$x_1=-\frac52,\quad x_2=2.$$

Оба корня подходят при проверке.

Ответ

а) $$2$$; б) $$-\frac12$$; в) решений нет; г) $$-\frac52,\; 2$$.