Упр.55.1 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Равносильно ли уравнение $$2^x=256$$ уравнению:

• а) $$\log_2 x=3$$;
• б) $$x^2-9x+8=0$$;
• в) $$3x^2-24x=0$$;
• г) $$\frac{16}{x}=2$$?

Найдём решение уравнения $$2^x=256.$$

Так как $$256=2^8,$$ то

$$2^x=2^8 \Rightarrow x=8.$$

а)

Решим уравнение $$\log_2 x=3.$$

По определению логарифма:

$$x=2^3=8.$$

Оба уравнения имеют одно и то же решение $$x=8,$$ значит, они равносильны.

б)

Решим уравнение $$x^2-9x+8=0.$$

$$D=9^2-4\cdot 1\cdot 8=81-32=49.$$

Тогда

$$x_{1,2}=\frac{9\pm 7}{2},$$

откуда

$$x_1=1,\quad x_2=8.$$

Это не совпадает с решением исходного уравнения $$x=8,$$ значит, уравнения неравносильны.

в)

Решим уравнение $$3x^2-24x=0.$$

Вынесем общий множитель:

$$3x(x-8)=0.$$

Отсюда

$$x=0 \quad \text{или} \quad x=8.$$

Так как исходное уравнение имеет только решение $$x=8,$$ уравнения неравносильны.

г)

Решим уравнение $$\frac{16}{x}=2.$$

При $$x\ne 0$$ получаем:

$$16=2x,$$

$$x=8.$$

Это совпадает с решением исходного уравнения, значит, уравнения равносильны.

Ответ: а) да; б) нет; в) нет; г) да.