Упр.54.6 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
- При подготовке к экзамену один ученик решил 44 задачи из общего списка в 50 задач, а второй ученик решил 26 задач из этого же списка. Известно, что каждую задачу из общего списка задач кто-то из учеников решил. Какова вероятность того, что случайным образом выбранную из списка задачу: а) решили оба ученика; б) решил первый, но не решил второй ученик; в) решил второй, но не решил первый ученик? Измените в условии общее количество учеников так, чтобы ответы в пунктах а) и б) были одинаковыми.
Обозначим:
$$A$$ — задачи, решённые первым учеником, $$|A|=44$$;
$$B$$ — задачи, решённые вторым учеником, $$|B|=26$$;
всего задач $$50$$, и каждая задача решена хотя бы одним учеником.
Тогда число задач, решённых обоими учениками:
$$|A \cap B|=44+26-50=20.$$
а) Вероятность того, что случайно выбранную задачу решили оба ученика:
$$P(A \cap B)=\frac{20}{50}=0{,}4.$$
б) Вероятность того, что задачу решил первый, но не решил второй ученик:
$$|A \setminus B|=44-20=24,$$
$$P(A \setminus B)=\frac{24}{50}=0{,}48.$$
в) Вероятность того, что задачу решил второй, но не решил первый ученик:
$$|B \setminus A|=26-20=6,$$
$$P(B \setminus A)=\frac{6}{50}=0{,}12.$$
г) Чтобы ответы в пунктах а) и б) были одинаковыми, нужно, чтобы
$$P(A \cap B)=P(A \setminus B).$$
Пусть всего задач в списке $$N$$. Тогда
$$|A \cap B|=44+26-N=70-N,$$
а
$$|A \setminus B|=44-(70-N)=N-26.$$
Приравняем:
$$70-N=N-26,$$
$$2N=96,$$
$$N=48.$$
Ответ: а) $$0{,}4$$; б) $$0{,}48$$; в) $$0{,}12$$; г) $$48$$ задач.
