Упр.54.5 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. В классе 22 красивых ученика, а умных — 18. Всего в классе 30 учеников, и каждый из них умный или красивый. Какова вероятность того, что случайно вызванный по списку класса ученик: а) и умный, и красивый; б) умный, но не красивый; в) красивый, но не умный? Измените в условии общее количество учеников так, чтобы ответы в пунктах а) и в) были одинаковыми.

Обозначим:

$$A$$ — множество красивых учеников, $$|A|=22$$,

$$B$$ — множество умных учеников, $$|B|=18$$.

Так как в классе всего $$30$$ учеников и каждый из них умный или красивый, то

$$|A\cap B|=|A|+|B|-30=22+18-30=10.$$

Ход решения

а) Вероятность того, что ученик и умный, и красивый:

$$P(A\cap B)=\frac{10}{30}=\frac{1}{3}.$$

б) Вероятность того, что ученик умный, но не красивый:

$$|B\setminus A|=|B|-|A\cap B|=18-10=8,$$

$$P(B\setminus A)=\frac{8}{30}=\frac{4}{15}.$$

в) Вероятность того, что ученик красивый, но не умный:

$$|A\setminus B|=|A|-|A\cap B|=22-10=12,$$

$$P(A\setminus B)=\frac{12}{30}=\frac{2}{5}.$$

г) Пусть общее число учеников равно $$N$$. Тогда

$$|A\cap B|=22+18-N=40-N.$$

Чтобы ответы в пунктах а) и в) были одинаковыми, нужно, чтобы

$$P(A\cap B)=P(A\setminus B).$$

Тогда

$$\frac{40-N}{N}=\frac{22-(40-N)}{N}.$$

Упростим:

$$40-N=22-40+N,$$

$$40-N= N-18,$$

$$58=2N,$$

$$N=29.$$

Ответ

а) $$\frac{1}{3}$$; б) $$\frac{4}{15}$$; в) $$\frac{2}{5}$$; г) $$29$$ учеников.