Упр.54.4 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Карточка лотереи «Спортлото» содержит $$49$$ чисел. В итоге тиража выигрывают какие-то $$6$$ чисел. Какова (в процентах) вероятность того, что на вашей карточке, где отмечены $$6$$ чисел, верно угадано ровно: а) $$0$$ чисел; б) $$1$$ число; в) $$2$$ числа; г) $$3$$ числа?

Обозначим через $$P_k$$ вероятность того, что из $$6$$ отмеченных чисел угадано ровно $$k$$.

Всего способов выбрать $$6$$ чисел из $$49$$:

$$N=\mathrm{C}_{49}^{6}.$$

Если угадано ровно $$k$$ чисел, то $$k$$ чисел выбираем из выигравших $$6$$, а остальные $$6-k$$ — из невыигравших $$43$$. Поэтому

$$P_k=\frac{\mathrm{C}_{6}^{k}\mathrm{C}_{43}^{6-k}}{\mathrm{C}_{49}^{6}}.$$

Ход решения

а) Ровно $$0$$ чисел:

$$P_0=\frac{\mathrm{C}_{6}^{0}\mathrm{C}_{43}^{6}}{\mathrm{C}_{49}^{6}} =\frac{\mathrm{C}_{43}^{6}}{\mathrm{C}_{49}^{6}} \approx 0{,}4359.$$

Значит, $$P_0 \approx 43{,}6\%.$$

б) Ровно $$1$$ число:

$$P_1=\frac{\mathrm{C}_{6}^{1}\mathrm{C}_{43}^{5}}{\mathrm{C}_{49}^{6}} \approx 0{,}4130.$$

Значит, $$P_1 \approx 41{,}3\%.$$

в) Ровно $$2$$ числа:

$$P_2=\frac{\mathrm{C}_{6}^{2}\mathrm{C}_{43}^{4}}{\mathrm{C}_{49}^{6}} \approx 0{,}1323.$$

Значит, $$P_2 \approx 13{,}2\%.$$

г) Ровно $$3$$ числа:

$$P_3=\frac{\mathrm{C}_{6}^{3}\mathrm{C}_{43}^{3}}{\mathrm{C}_{49}^{6}} \approx 0{,}0177.$$

Значит, $$P_3 \approx 1{,}77\%.$$

Ответ

а) $$43{,}6\%$$; б) $$41{,}3\%$$; в) $$13{,}2\%$$; г) $$1{,}77\%$$.