Упр.54.25 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Точка случайным образом выбрана из фигуры, ограниченной параболой $$y=x^2$$, осью абсцисс и прямой $$x=3$$. Найдите вероятность того, что она лежит: а) левее прямой $$x=1$$; б) правее прямой $$x=2$$; в) выше прямой $$y=4$$; г) ниже прямой $$y=1$$.

Площадь всей фигуры равна

$$S=\int_0^3 x^2\,dx=\left.\frac{x^3}{3}\right|_0^3=\frac{27}{3}=9.$$

Тогда искомые вероятности равны отношению соответствующих площадей к площади всей фигуры.

1. Левее прямой $$x=1$$:

   $$P_a=\frac{\int_0^1 x^2\,dx}{\int_0^3 x^2\,dx}=\frac{\left.\frac{x^3}{3}\right|_0^1}{9}=\frac{\frac13}{9}=\frac{1}{27}.$$

2. Правее прямой $$x=2$$:

   $$P_b=\frac{\int_2^3 x^2\,dx}{\int_0^3 x^2\,dx}=\frac{\left.\frac{x^3}{3}\right|_2^3}{9}=\frac{\frac{27-8}{3}}{9}=\frac{19}{27}.$$

3. Выше прямой $$y=4$$:

   Точка выше прямой $$y=4$$ только при $$x\in[2,3]$$, так как $$x^2=4$$ при $$x=2$$.

   $$P_c=\frac{\int_2^3 (x^2-4)\,dx}{\int_0^3 x^2\,dx}=\frac{\left.\left(\frac{x^3}{3}-4x\right)\right|_2^3}{9}=\frac{\left(9-12\right)-\left(\frac83-8\right)}{9}=\frac{7}{27}.$$

4. Ниже прямой $$y=1$$:

   Ниже прямой $$y=1$$ лежит часть фигуры при $$x\in[0,1]$$, а при $$x\in[1,3]$$ вся фигура находится выше $$y=1$$.

   $$P_d=\frac{\int_0^1 1\,dx+\int_1^3 (x^2-1)\,dx}{\int_0^3 x^2\,dx}=\frac{1+\left.\left(\frac{x^3}{3}-x\right)\right|_1^3}{9}=\frac{1+\left(9-3\right)-\left(\frac13-1\right)}{9}=\frac{7}{27}.$$

Ответ: а) $$\frac{1}{27}$$; б) $$\frac{19}{27}$$; в) $$\frac{7}{27}$$; г) $$\frac{7}{27}$$.