Упр.54.24 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Произвольно выбирают числа $$x$$ и $$y$$ так, что $$|x| \leq 1$$ и $$|y| \leq 1$$. Точку $$(x, y)$$ отмечают на координатной плоскости. Какова вероятность того, что:
   а) эта точка лежит в первой координатной четверти;
   б) $$x+y<0$$;
   в) эта точка лежит или во второй, или в четвёртой координатной четверти;
   г) $$x+y>0$$, а $$xy<0$$?

Так как $$|x|\le 1$$ и $$|y|\le 1,$$ все возможные точки равновероятно заполняют квадрат со стороной $$2$$ и площадью $$S=2\cdot 2=4.$$ Поэтому искомая вероятность равна отношению площади нужной части к площади всего квадрата.

а)

Первая четверть задаётся условиями $$0\le x\le 1,\quad 0\le y\le 1.$$

Это квадрат со стороной $$1,$$ его площадь равна $$1.$$ Тогда

$$P=\frac{1}{4}=0{,}25.$$

б)

Неравенство $$x+y<0$$ равносильно $$y<-x.$$ В квадрате $$[-1;1]\times[-1;1]$$ это одна из двух равных частей, на которые диагональ $$y=-x$$ делит квадрат.

Следовательно,

$$P=\frac{1}{2}=0{,}5.$$

в)

Во II четверти: $$-1\le x\le 0,\ 0\le y\le 1,$$ в IV четверти: $$0\le x\le 1,\ -1\le y\le 0.$$

Это два квадрата со стороной $$1,$$ суммарная площадь равна $$2.$$ Тогда

$$P=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}=0{,}5.$$

г)

Условие $$xy<0$$ означает, что числа $$x$$ и $$y$$ разных знаков, то есть точка лежит во II или IV четверти. При этом $$x+y>0$$ оставляет только часть IV четверти, расположенную ниже прямой $$y=-x$$.

Эта область — прямоугольный треугольник с катетами $$1$$ и $$1,$$ его площадь равна

$$S=\frac{1}{2}\cdot 1\cdot 1=\frac{1}{2}.$$

Тогда

$$P=\frac{1/2}{4}=\frac{1}{8}=0{,}125.$$

Ответ

а) $$0{,}25$$; б) $$0{,}5$$; в) $$0{,}5$$; г) $$0{,}125$$.