Упр.54.23 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Случайным образом выбирают одно из решений неравенства $$\sqrt{x}\le 10$$. Найдите вероятность того, что оно:
   а) является решением неравенства $$\sqrt{x}\le 1$$;
   б) принадлежит области определения функции $$y=\ln(40x-39-x^2)$$;
   в) является решением неравенства $$\sqrt{x-10}\le 5$$;
   г) принадлежит области значений функции $$y=0{,}5\sin\left(2x+\frac{3\pi}{2}\right)+1$$.

Рассмотрим множество решений неравенства $$\sqrt{x}\le 10.$$

Так как $$x\ge 0,$$ то

$$\sqrt{x}\le 10 \iff 0\le x\le 100.$$

Длина этого промежутка равна $$100-0=100.$$

1. Найдём вероятность того, что выбранное число является решением неравенства $$\sqrt{x}\le 1.$$

   $$\sqrt{x}\le 1 \iff 0\le x\le 1.$$

   Длина подходящего промежутка равна $$1-0=1.$$

   Тогда

   $$P=\frac{1}{100}=0{,}01.$$

2. Найдём область определения функции $$y=\ln(40x-39-x^2).$$

   Для логарифма нужно, чтобы

   $$40x-39-x^2>0.$$

   Преобразуем:

   $$x^2-40x+39<0,$$

   $$x^2-40x+39=(x-1)(x-39).$$

   Тогда

   $$1<x<39.$$

   Длина этого промежутка равна $$39-1=38.$$

   Следовательно,

   $$P=\frac{38}{100}=0{,}38.$$

3. Найдём вероятность того, что выбранное число является решением неравенства $$\sqrt{x-10}\le 5.$$

   С учётом области определения имеем:

   $$x-10\ge 0,$$

   а само неравенство равносильно

   $$x-10\le 25.$$

   Значит,

   $$10\le x\le 35.$$

   Длина подходящего промежутка равна $$35-10=25.$$

   Тогда

   $$P=\frac{25}{100}=0{,}25.$$

4. Найдём область значений функции $$y=0{,}5\sin\left(2x+\frac{3\pi}{2}\right)+1.$$

   Так как

   $$-1\le \sin t\le 1,$$

   то

   $$-0{,}5\le 0{,}5\sin\left(2x+\frac{3\pi}{2}\right)\le 0{,}5,$$

   а значит,

   $$0{,}5\le y\le 1{,}5.$$

   Длина этого промежутка равна $$1{,}5-0{,}5=1.$$

   Следовательно,

   $$P=\frac{1}{100}=0{,}01.$$

Ответ: а) $$0{,}01$$; б) $$0{,}38$$; в) $$0{,}25$$; г) $$0{,}01$$.