Упр.54.16 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
- Продолжение задачи 54.4. Карточка лотереи «Спортлото» содержит $$49$$ чисел. В итоге тиража выигрывают какие-то $$6$$ чисел. Какова (в процентах) вероятность того, что на вашей карточке, где отмечены $$6$$ чисел, верно угадано: а) хотя бы одно число; б) не более одного числа; в) не менее трёх чисел; г) $$4$$, $$5$$ или $$6$$ чисел?
Пусть из 49 чисел в тираже выиграли 6. Тогда всего возможных наборов выигрышных чисел:
$$N=C_{49}^{6}.$$
а) Хотя бы одно число
Удобнее найти вероятность противоположного события — не угадано ни одного числа.
Тогда все 6 отмеченных чисел должны быть выбраны из оставшихся 43:
$$P(0)=\frac{C_{43}^{6}}{C_{49}^{6}}.$$
Следовательно,
$$P(\ge 1)=1-P(0)=1-\frac{C_{43}^{6}}{C_{49}^{6}}\approx 1-0{,}436=0{,}564.$$
Ответ: $$56{,}4\%.$$
б) Не более одного числа
Нужно сложить вероятности событий: не угадано ни одного числа и угадано ровно одно число.
$$P(0)=\frac{C_{43}^{6}}{C_{49}^{6}}\approx 0{,}436,$$
$$P(1)=\frac{C_{6}^{1}C_{43}^{5}}{C_{49}^{6}}\approx 0{,}413.$$
Тогда
$$P(\le 1)=P(0)+P(1)\approx 0{,}436+0{,}413=0{,}849.$$
Ответ: $$84{,}9\%.$$
в) Не менее трёх чисел
Найдём вероятность противоположного события: угадано не более двух чисел.
$$P(0)\approx 0{,}436,\qquad P(1)\approx 0{,}413,\qquad P(2)=\frac{C_{6}^{2}C_{43}^{4}}{C_{49}^{6}}\approx 0{,}132.$$
Тогда
$$P(\ge 3)=1-(P(0)+P(1)+P(2))\approx 1-(0{,}436+0{,}413+0{,}132)=0{,}019.$$
Ответ: $$1{,}9\%.$$
г) 4, 5 или 6 чисел
Это событие означает, что угадано не менее четырёх чисел.
Найдём вероятность противоположного события — угадано не более трёх чисел:
$$P(3)=\frac{C_{6}^{3}C_{43}^{3}}{C_{49}^{6}}\approx 0{,}0177.$$
Тогда
$$P(\ge 4)=P(\ge 3)-P(3)\approx 0{,}019-0{,}0177=0{,}0013.$$
Или сразу:
$$P(4\text{ или }5\text{ или }6)\approx 0{,}0013.$$
Ответ: $$0{,}13\%.$$
