Упр.54.15 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Внутри окружности, описанной около прямоугольного треугольника с катетами $$6$$ и $$8$$, взята точка. Найдите вероятность того, что она: а) лежит внутри треугольника; б) лежит внутри окружности, вписанной в треугольник; в) лежит вне треугольника; г) лежит внутри треугольника, но не внутри вписанной в него окружности.

Пусть $$a=6$$, $$b=8$$. Тогда гипотенуза прямоугольного треугольника равна

$$c=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=10.$$

Радиус описанной окружности прямоугольного треугольника:

$$R=\frac{c}{2}=\frac{10}{2}=5.$$

Площадь описанной окружности:

$$S_{\text{окр}}=\pi R^2=25\pi.$$

а)

Площадь треугольника:

$$S_{\triangle}=\frac12 ab=\frac12\cdot 6\cdot 8=24.$$

Искомая вероятность:

$$P=\frac{S_{\triangle}}{S_{\text{окр}}}=\frac{24}{25\pi}\approx 0{,}306.$$

б)

Радиус вписанной окружности:

$$r=\frac{a+b-c}{2}=\frac{6+8-10}{2}=2.$$

Тогда

$$P=\frac{\pi r^2}{\pi R^2}=\left(\frac{r}{R}\right)^2=\left(\frac{2}{5}\right)^2=\frac{4}{25}=0{,}16.$$

в)

Вероятность попасть вне треугольника равна дополнению к пункту а):

$$P=1-\frac{24}{25\pi}\approx 0{,}694.$$

г)

Искомая вероятность равна разности вероятностей из пунктов а) и б):

$$P=\frac{24}{25\pi}-\frac{4}{25}=\frac{24-4\pi}{25\pi}\approx 0{,}146.$$

Ответ: а) $$\frac{24}{25\pi}\approx 0{,}306$$; б) $$0{,}16$$; в) $$1-\frac{24}{25\pi}\approx 0{,}694$$; г) $$\frac{24-4\pi}{25\pi}\approx 0{,}146$$.