Упр.54.14 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Задача

В прямоугольнике $$ABCD$$ со сторонами $$AB=2$$, $$BC=5$$ случайно выбирают точку. Найдите вероятность того, что она расположена: а) ближе к прямой $$AB$$, чем к прямой $$CD$$; б) ближе к вершине $$A$$, чем к вершине $$C$$; в) ближе к прямой $$AB$$, чем к прямой $$BC$$; г) ближе к вершине $$A$$, чем к точке пересечения диагоналей.

Подробный ответ

Площадь прямоугольника $$ABCD$$ равна

$$S_{ABCD}=AB\cdot BC=2\cdot 5=10.$$

а)

Точки, которые ближе к прямой $$AB$$, чем к прямой $$CD$$, лежат в полосе, ограниченной серединной прямой, параллельной этим сторонам. Эта полоса занимает половину прямоугольника.

Тогда

$$P=\frac{1}{2}.$$

б)

Точки, которые ближе к вершине $$A$$, чем к вершине $$C$$, лежат по одну сторону серединного перпендикуляра к отрезку $$AC$$. В прямоугольнике эта область — трапеция с площадью, равной половине площади прямоугольника.

Следовательно,

$$P=\frac{1}{2}.$$

в)

Точки, которые ближе к прямой $$AB$$, чем к прямой $$BC$$, образуют прямоугольный треугольник с катетами $$AB$$ и $$\frac{AB}{2}$$.

Его площадь:

$$S=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot \frac{AB}{2}=\frac{1}{2}\cdot 2\cdot 1=1.$$

Тогда

$$P=\frac{S}{S_{ABCD}}=\frac{1}{10}.$$

г)

Обозначим через $$O$$ точку пересечения диагоналей. Множество точек, которые ближе к вершине $$A$$, чем к точке $$O$$, — это трапеция, площадь которой равна $$\frac{21}{100}$$ площади прямоугольника.

Следовательно,

$$P=0{,}21.$$