Упр.54.13 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Случайным образом выбирают одно из решений неравенства $$1 \leq |x-3| \leq 5$$. Найдите вероятность того, что оно является решением неравенства: а) $$|x| \leq 2$$; б) $$|x-6| \leq 2$$; в) $$|x| \leq 1$$; г) $$1 \leq |x-6| \leq 2$$.

Решим неравенство $$1 \le |x-3| \le 5.$$

Оно равносильно системе двух промежутков:

$$\begin{aligned} 1 \le x-3 \le 5 &\Rightarrow 4 \le x \le 8,\\ 1 \le -(x-3) \le 5 &\Rightarrow -2 \le x \le 2. \end{aligned}$$

Значит, множество всех решений исходного неравенства:

$$[-2;2]\cup[4;8].$$

а) $$|x|\le 2$$

Решения этого неравенства:

$$-2 \le x \le 2.$$

Это целиком входит в множество $$[-2;2]\cup[4;8].$$

Длина всех решений исходного неравенства:

$$L=(2-(-2))+(8-4)=8.$$

Длина благоприятных значений:

$$l=2-(-2)=4.$$

Тогда

$$P=\frac{l}{L}=\frac{4}{8}=\frac12.$$

б) $$|x-6|\le 2$$

Решения этого неравенства:

$$4 \le x \le 8.$$

Это также целиком входит в множество $$[-2;2]\cup[4;8].$$

Длина благоприятных значений:

$$l=8-4=4.$$

Тогда

$$P=\frac{4}{8}=\frac12.$$

в) $$|x|\le 1$$

Решения этого неравенства:

$$-1 \le x \le 1.$$

Это подмножество отрезка $$[-2;2].$$

Длина благоприятных значений:

$$l=1-(-1)=2.$$

Тогда

$$P=\frac{2}{8}=\frac14.$$

г) $$1 \le |x-6| \le 2$$

Решим неравенство:

$$\begin{aligned} 1 \le x-6 \le 2 &\Rightarrow 7 \le x \le 8,\\ 1 \le -(x-6) \le 2 &\Rightarrow 4 \le x \le 5. \end{aligned}$$

Значит,

$$x \in [4;5]\cup[7;8].$$

Длина благоприятных значений:

$$l=(5-4)+(8-7)=2.$$

Тогда

$$P=\frac{2}{8}=\frac14.$$

Ответ: а) $$\frac12$$; б) $$\frac12$$; в) $$\frac14$$; г) $$\frac14$$.