Упр.54.12 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Случайным образом выбирают одно из решений неравенства $$x^2 \leq 9$$. Найдите вероятность того, что оно является решением неравенства: а) $$x^2 \leq 10$$; б) $$2x — 3 \leq 17$$; в) $$x^2 \geq 10$$; г) $$x^3 + 2x \geq 0$$.

Рассмотрим множество решений неравенства $$x^2 \le 9.$$

Имеем:

$$x^2-9 \le 0$$

$$(x-3)(x+3)\le 0$$

$$-3 \le x \le 3.$$

1. $$x^2 \le 10$$

   Так как $$[-3;3]\subseteq[-\sqrt{10};\sqrt{10}],$$ то любое решение неравенства $$x^2\le 9$$ является решением неравенства $$x^2\le 10.$$

   $$P=1.$$

2. $$2x-3\le 17$$

   $$2x\le 20$$

   $$x\le 10.$$

   Все числа из отрезка $$[-3;3]$$ удовлетворяют этому неравенству, значит

   $$P=1.$$

3. $$x^2\ge 10$$

   Решения этого неравенства: $$x\le -\sqrt{10}$$ или $$x\ge \sqrt{10}.$$

   Отрезок $$[-3;3]$$ не пересекается с этим множеством, поэтому

   $$P=0.$$

4. $$x^3+2x\ge 0$$

   $$x(x^2+2)\ge 0.$$

   Так как $$x^2+2>0$$ при любом $$x,$$ то неравенство равносильно

   $$x\ge 0.$$

   На отрезке $$[-3;3]$$ этому условию удовлетворяет половина всех решений, значит

   $$P=\frac{3-0}{3-(-3)}=\frac{3}{6}=\frac12.$$

Ответ: а) $$1$$; б) $$1$$; в) $$0$$; г) $$\frac12$$.