Упр.54.11 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Каждый из четырёх приятелей выучил ровно 5 вопросов из 20 заданных к зачёту. На зачёте они отвечали в разных аудиториях и получали вопросы независимо друг от друга. Найдите вероятность того, что: а) каждому достался тот вопрос, который он выучил; б) никому не достался вопрос, который он выучил; в) только одному из них достался тот вопрос, который он не выучил; г) хотя бы одному из них достался тот вопрос, который он выучил.

Обозначим вероятность того, что одному студенту попадётся выученный им вопрос, через $$p=\frac{5}{20}=\frac14,$$ тогда вероятность неудачи равна $$q=1-p=\frac34.$$

Ход решения

1. Вероятность того, что каждому из четырёх приятелей достанется выученный вопрос:

   $$P_4(4)=C_4^4\cdot p^4\cdot q^0=1\cdot \left(\frac14\right)^4=\frac1{256}\approx 0{,}0039.$$

2. Вероятность того, что никому не достанется выученный вопрос:

   $$P_4(0)=C_4^0\cdot p^0\cdot q^4=1\cdot \left(\frac34\right)^4=\frac{81}{256}\approx 0{,}3164.$$

3. Вероятность того, что только одному из них достанется выученный вопрос:

   $$P_4(1)=C_4^1\cdot p^1\cdot q^3=4\cdot \frac14\cdot \left(\frac34\right)^3=\frac{27}{64}\approx 0{,}4219.$$

4. Вероятность того, что хотя бы одному из них достанется выученный вопрос:

   $$P=1-P_4(0)=1-\left(\frac34\right)^4=\frac{175}{256}\approx 0{,}6836.$$

Ответ

а) $$\frac1{256}\approx 0{,}0039$$; б) $$\frac{81}{256}\approx 0{,}3164$$; в) $$\frac{27}{64}\approx 0{,}4219$$; г) $$\frac{175}{256}\approx 0{,}6836$$.