Упр.53.7 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Докажите, что для любого натурального числа $$n>1$$ и любого положительного числа $$x$$ справедливо неравенство $$(1+x)^n>1+nx$$.

Воспользуемся формулой бинома Ньютона:

$$(1+x)^n=\sum_{k=0}^{n} C_n^k x^k=1+nx+C_n^2x^2+\dots+C_n^{n-1}x^{n-1}+x^n.$$

Так как $$n>1$$ и $$x>0,$$ то все слагаемые, начиная с $$C_n^2x^2,$$ положительны. Поэтому

$$(1+x)^n=1+nx+C_n^2x^2+\dots+C_n^{n-1}x^{n-1}+x^n>1+nx.$$

Следовательно, для любого натурального $$n>1$$ и любого положительного $$x$$ неравенство верно.

Ответ: $$(1+x)^n>1+nx$$.