Упр.53.6 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Чему равен наибольший коэффициент в разложении $$(a+b)^n$$, если сумма биномиальных коэффициентов разложения равна: а) 1024; б) 512? Сколько в разложении членов с этим наибольшим коэффициентом?

Воспользуемся формулой бинома Ньютона:

$$C_n^0+C_n^1+\dots+C_n^{n-1}+C_n^n=2^n.$$

а)

$$2^n=1024=2^{10},$$

значит, $$n=10.$$

Наибольший биномиальный коэффициент в разложении $$\left(a+b\right)^{10}$$ равен центральному коэффициенту:

$$C_{10}^5=\frac{10!}{5!\,5!}=\frac{10\cdot 9\cdot 8\cdot 7\cdot 6}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5}=252.$$

Такой коэффициент встречается один раз.

б)

$$2^n=512=2^9,$$

значит, $$n=9.$$

При нечётном $$n$$ наибольших коэффициентов два:

$$C_9^4=C_9^5.$$

Вычислим их:

$$C_9^4=\frac{9!}{4!\,5!}=\frac{9\cdot 8\cdot 7\cdot 6}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}=126.$$

Следовательно, наибольший коэффициент равен $$126$$ и он встречается в двух членах разложения.

Ответ

а) $$252$$, один член; б) $$126$$, два члена.