Упр.53.5 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. В разложении $$\left(x+\frac{1}{x}\right)^{10}$$ по степеням переменной $$x$$ укажите: а) одночлен, содержащий $$x^8$$; б) одночлен, содержащий $$x^4$$; в) одночлен, содержащий $$x^{-2}$$; г) свободный коэффициент (одночлен, не содержащий $$x$$).

Используем формулу бинома Ньютона:

$$\left(x+\frac{1}{x}\right)^{10}=\sum_{k=0}^{10} C_{10}^k x^{10-k}\left(\frac{1}{x}\right)^k=\sum_{k=0}^{10} C_{10}^k x^{10-2k}.$$

Найдём нужные одночлены.

1. Одночлен, содержащий $$x^8$$:

   $$10-2k=8,\quad 2k=2,\quad k=1.$$

   Тогда

   $$C_{10}^1x^8=10x^8.$$

2. Одночлен, содержащий $$x^4$$:

   $$10-2k=4,\quad 2k=6,\quad k=3.$$

   Тогда

   $$C_{10}^3x^4=\frac{10\cdot 9\cdot 8}{1\cdot 2\cdot 3}x^4=120x^4.$$

3. Одночлен, содержащий $$x^{-2}$$:

   $$10-2k=-2,\quad 2k=12,\quad k=6.$$

   Тогда

   $$C_{10}^6x^{-2}=\frac{10\cdot 9\cdot 8\cdot 7}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}x^{-2}=210x^{-2}.$$

4. Свободный член:

   $$10-2k=0,\quad 2k=10,\quad k=5.$$

   Тогда

   $$C_{10}^5=\frac{10\cdot 9\cdot 8\cdot 7\cdot 6}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5}=252.$$

Ответ: а) $$10x^8$$; б) $$120x^4$$; в) $$210x^{-2}$$; г) $$252$$.