Упр.53.4 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Найдите член разложения, не содержащий переменных: а) $$\left(2x^2+\frac{1}{x}\right)^6$$; б) $$\left(3\sqrt[4]{a}+\frac{1}{\sqrt[4]{a}}\right)^9$$.

а) Используем формулу бинома Ньютона:

$$\left(2x^2+\frac{1}{x}\right)^6=\sum_{k=0}^{6} C_6^k (2x^2)^{6-k}\left(\frac{1}{x}\right)^k.$$

Общий член разложения имеет вид

$$C_6^k \cdot 2^{6-k} \cdot x^{12-2k}\cdot x^{-k}=C_6^k \cdot 2^{6-k}\cdot x^{12-3k}.$$

Чтобы член не содержал переменной $$x$$, нужно, чтобы

$$12-3k=0,$$

откуда $$k=4.$$

Тогда искомый член равен

$$C_6^4 \cdot 2^{6-4}=15\cdot 4=60.$$

б) Аналогично:

$$\left(3\sqrt[4]{a}+\frac{1}{\sqrt{a}}\right)^9=\sum_{k=0}^{9} C_9^k \left(3a^{1/4}\right)^{9-k}\left(a^{-1/2}\right)^k.$$

Общий член разложения:

$$C_9^k \cdot 3^{9-k}\cdot a^{\frac{9-k}{4}-\frac{k}{2}}=C_9^k \cdot 3^{9-k}\cdot a^{\frac{9-3k}{4}}.$$

Чтобы член не содержал переменной $$a$$, нужно, чтобы

$$\frac{9-3k}{4}=0,$$

откуда $$k=3.$$

Тогда искомый член равен

$$C_9^3 \cdot 3^{6}=84\cdot 729=61236.$$

Ответ: а) $$60$$; б) $$61236$$.