Упр.53.3 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Найдите коэффициент при $$x^3$$ у многочлена $$P(x)$$:
   а) $$P(x)=(1+3x)^4$$;
   б) $$P(x)=(3-2x)^5$$;
   в) $$P(x)=(x+2)^5-(2x+1)^4$$;
   г) $$P(x)=(x^2-x)^4+\left(3-\frac{x}{3}\right)^4$$.

Используем формулу бинома Ньютона и выделим слагаемое, содержащее $$x^3$$.

1. $$P(x)=(1+3x)^4$$

   Слагаемое с $$x^3$$:

   $$C_4^3 \cdot 1^{4-3}\cdot (3x)^3=4\cdot 27x^3=108x^3.$$

   Коэффициент при $$x^3$$ равен $$108$$.

2. $$P(x)=(3-2x)^5$$

   Слагаемое с $$x^3$$:

   $$C_5^3 \cdot 3^{5-3}\cdot (-2x)^3=10\cdot 9\cdot (-8)x^3=-720x^3.$$

   Коэффициент при $$x^3$$ равен $$-720$$.

3. $$P(x)=(x+2)^5-(2x+1)^4$$

   В первой скобке слагаемое с $$x^3$$:

   $$C_5^3 \cdot x^3 \cdot 2^{5-3}=10\cdot 4x^3=40x^3.$$

   Во второй скобке слагаемое с $$x^3$$:

   $$C_4^3 \cdot (2x)^3 \cdot 1^{4-3}=4\cdot 8x^3=32x^3.$$

   Тогда

   $$40x^3-32x^3=8x^3.$$

   Коэффициент при $$x^3$$ равен $$8$$.

4. $$P(x)=(x^2-x)^4+\left(3-\frac{x}{3}\right)^4$$

   В разложении $$\left(x^2-x\right)^4$$ степень каждого слагаемого имеет вид $$x^{8-k} \cdot x^k=x^8$$, $$x^7$$, $$x^6$$, $$x^5$$ или $$x^4$$, поэтому члена с $$x^3$$ здесь нет.

   Во второй скобке слагаемое с $$x^3$$:

   $$C_4^3 \cdot 3^{4-3}\cdot \left(-\frac{x}{3}\right)^3=4\cdot 3\cdot \left(-\frac{x^3}{27}\right)=-\frac{4}{9}x^3.$$

   Коэффициент при $$x^3$$ равен $$-\frac{4}{9}$$.

Ответ: а) $$108$$; б) $$-720$$; в) $$8$$; г) $$-\frac{4}{9}$$.