Упр.53.2 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Найдите коэффициент при первой степени переменной $$x$$ у многочлена $$P(x)$$: а) $$P(x)=(1+x)^7$$; б) $$P(x)=(1+3x)^4$$; в) $$P(x)=(3-2x)^5$$; г) $$P(x)=(x+2)^5-(2x+1)^4$$.

Используем формулу бинома Ньютона. Коэффициент при $$x^1$$ в выражении $$(a+bx)^n$$ равен $$C_n^1 \cdot a^{\,n-1}\cdot b.$$

1. $$P(x)=(1+x)^7$$

   Коэффициент при $$x^1$$:

   $$C_7^1 \cdot 1^6 \cdot 1 = 7.$$

2. $$P(x)=(1+3x)^4$$

   Коэффициент при $$x^1$$:

   $$C_4^1 \cdot 1^3 \cdot 3 = 12.$$

3. $$P(x)=(3-2x)^5$$

   Коэффициент при $$x^1$$:

   $$C_5^1 \cdot 3^4 \cdot (-2) = 5 \cdot 81 \cdot (-2) = -810.$$

4. $$P(x)=(x+2)^5-(2x+1)^4$$

   Коэффициент при $$x^1$$ в первом многочлене:

   $$C_5^1 \cdot 2^4 \cdot 1 = 5 \cdot 16 = 80.$$

   Коэффициент при $$x^1$$ во втором многочлене:

   $$C_4^1 \cdot 1^3 \cdot 2 = 4 \cdot 2 = 8.$$

   Так как второй многочлен вычитается, получаем:

   $$80-8=72.$$

Ответ: а) $$7$$; б) $$12$$; в) $$-810$$; г) $$72$$.