Упр.52.5 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Сколькими нулями оканчивается число: а) $$10!$$; б) $$15!$$; в) $$26!$$; г) $$100!$$?

В числе нулей столько, сколько пар множителей $$2 \cdot 5$$ содержится в разложении факториала на простые множители. Так как двоек всегда больше, чем пятёрок, достаточно посчитать количество пятёрок.

Для числа $$n!$$ число нулей на конце равно количеству чисел, кратных $$5$$, плюс количеству чисел, кратных $$25$$, плюс количеству чисел, кратных $$125$$ и т. д.

1. $$10!$$

   Кратных $$5$$: $$\left\lfloor \dfrac{10}{5} \right\rfloor = 2$$.

   Кратных $$25$$ нет.

   Значит, $$10!$$ оканчивается на $$2$$ нуля.

2. $$15!$$

   Кратных $$5$$: $$\left\lfloor \dfrac{15}{5} \right\rfloor = 3$$.

   Кратных $$25$$ нет.

   Значит, $$15!$$ оканчивается на $$3$$ нуля.

3. $$26!$$

   Кратных $$5$$: $$\left\lfloor \dfrac{26}{5} \right\rfloor = 5$$.

   Кратных $$25$$: $$\left\lfloor \dfrac{26}{25} \right\rfloor = 1$$.

   Итого $$5+1=6$$.

   Значит, $$26!$$ оканчивается на $$6$$ нулей.

4. $$100!$$

   Кратных $$5$$: $$\left\lfloor \dfrac{100}{5} \right\rfloor = 20$$.

   Кратных $$25$$: $$\left\lfloor \dfrac{100}{25} \right\rfloor = 4$$.

   Кратных $$125$$ нет.

   Итого $$20+4=24$$.

   Значит, $$100!$$ оканчивается на $$24$$ нуля.

Ответ: а) $$2$$; б) $$3$$; в) $$6$$; г) $$24$$.