Упр.52.4 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Найдите наименьшее натуральное число $$n$$, для которого:

а) верно неравенство $$(n+1)!>(0{,}99n+5)\cdot n!$$;

б) верно неравенство $$(n+1)!>(n+333)\cdot(n-1)!$$;

в) число $$\frac{2^n}{n!}$$ меньше единицы;

г) число $$n!$$ составляет более $$1000\%$$ от числа $$(n-1)!$$.

а) $$\frac{(n+1)!}{n!}>0{,}99n+5$$

$$n+1>0{,}99n+5$$

$$0{,}01n>4$$

$$n>400$$

Наименьшее натуральное число: $$n=401$$.

б) $$\frac{(n+1)!}{(n-1)!}>n+333$$

$$n(n+1)>n+333$$

$$n^2+n>n+333$$

$$n^2>333$$

$$n>\sqrt{333}$$

Так как $$18^2=324<333<361=19^2$$, то наименьшее натуральное число:

$$n=19$$.

в) $$\frac{2^n}{n!}<1$$

Проверим подряд несколько значений:

$$\frac{2^1}{1!}=2,\quad \frac{2^2}{2!}=2,\quad \frac{2^3}{3!}=\frac{4}{3},\quad \frac{2^4}{4!}=\frac{2}{3}$$

Первое значение, при котором дробь меньше единицы, получается при $$n=4$$.

г) $$n!>1000\% \text{ от } (n-1)!$$

Так как $$1000\%=10$$, получаем:

$$n!>10\,(n-1)!$$

$$\frac{n!}{(n-1)!}>10$$

$$n>10$$

Наименьшее натуральное число: $$n=11$$.

Ответ: а) $$401$$; б) $$19$$; в) $$4$$; г) $$11$$.