Упр.52.20 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
- В театре 10 певцов и 8 певиц, а в хоре из премьерной оперы 5 мужских и 3 женские партии.
а) Сколько существует различных составов хора?
б) То же, но если известно, что певцы А и Б ни за что не будут петь вместе?
в) То же, но если известно, что певец А будет петь тогда и только тогда, когда будет петь певица В?
г) То же, если 6 певцов накануне сорвали голос на футболе и одной певице придётся петь мужскую партию.
Воспользуемся формулой сочетаний:
$$C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}$$
а)
Нужно выбрать $$5$$ певцов из $$10$$ и $$3$$ певиц из $$8$$:
$$C_{10}^5 \cdot C_8^3 = \frac{10!}{5!\,5!}\cdot \frac{8!}{3!\,5!} = 252 \cdot 56 = 14112$$
б)
Вычтем составы, в которые входят одновременно певцы $$A$$ и $$B$$. Тогда остаётся выбрать ещё $$3$$ певцов из $$8$$ и $$3$$ певиц из $$8$$:
$$C_{10}^5 \cdot C_8^3 — C_8^3 \cdot C_8^3 = 14112 — 56 \cdot 56 = 14112 — 3136 = 10976$$
в)
Если певец $$A$$ поёт тогда и только тогда, когда поёт певица $$B$$, возможны два случая:
- $$A$$ и $$B$$ оба входят в состав хора;
- $$A$$ и $$B$$ оба не входят в состав хора.
1) Если $$A$$ и $$B$$ выбраны, то остаётся выбрать ещё $$4$$ певцов из $$9$$ и $$2$$ певиц из $$7$$:
$$C_9^4 \cdot C_7^2 = 126 \cdot 21 = 2646$$
2) Если $$A$$ и $$B$$ не выбраны, то нужно выбрать $$5$$ певцов из $$9$$ и $$3$$ певиц из $$7$$:
$$C_9^5 \cdot C_7^3 = 126 \cdot 35 = 4410$$
Итого:
$$2646 + 4410 = 7056$$
г)
После того как $$6$$ певцов не могут петь, остаётся $$4$$ певца, и все они будут петь. Значит, на мужскую часть нужно выбрать одну певицу из $$8$$, а на женскую часть — $$3$$ певиц из оставшихся $$7$$:
$$C_8^1 \cdot C_7^3 = 8 \cdot 35 = 280$$
Ответ: а) $$14112$$; б) $$10976$$; в) $$7056$$; г) $$280$$.
