Упр.52.19 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Из 20 вопросов к экзамену ученик 12 выучил, 5 совсем не смотрел, а в остальных что-то знает, а что-то нет. На экзамене в билете будет три вопроса.
   а) Найдите количество возможных вариантов билета.
   б) Сколько из них тех, в которых ученик знает ответы на все вопросы?
   в) Сколько из них тех, в которых есть вопросы всех трёх типов?
   г) Сколько из них тех, в которых ученик выучил большинство ответов на вопросы?

Обозначим: 12 вопросов ученик выучил, 5 совсем не смотрел, значит оставшихся вопросов

$$20-12-5=3.$$

1. Количество возможных вариантов билета из 3 вопросов:

   $$C_{20}^{3}=\frac{20!}{3!(20-3)!}=\frac{20\cdot 19\cdot 18}{1\cdot 2\cdot 3}=1140.$$

2. Варианты, в которых ученик знает ответы на все вопросы, выбираются только из 12 выученных:

   $$C_{12}^{3}=\frac{12!}{3!(12-3)!}=\frac{12\cdot 11\cdot 10}{1\cdot 2\cdot 3}=220.$$

3. Варианты, в которых есть вопросы всех трёх типов, должны содержать по одному вопросу из каждой группы:

   $$12\cdot 5\cdot 3=180.$$

4. Чтобы ученик выучил большинство ответов, в билете должны быть либо 3 выученных вопроса, либо 2 выученных и 1 из оставшихся 8 вопросов.

   Число билетов с 3 выученными вопросами:

   $$C_{12}^{3}=220.$$

   Число билетов с 2 выученными и 1 невылученным вопросом:

   $$C_{12}^{2}\cdot 8=\frac{12\cdot 11}{2}\cdot 8=528.$$

   Итого:

   $$220+528=748.$$

Ответ: а) $$1140$$; б) $$220$$; в) $$180$$; г) $$748$$.