Упр.52.15 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Три клавиши из семи клавиш, соответствующих нотам до, ре, ми, фа, соль, ля, си одной октавы, можно нажать либо одновременно (аккорд), либо поочерёдно (трезвучие).
   
   а) Найдите число всех возможных трезвучий.
   
   б) Найдите число всех возможных аккордов.
   
   в) Найдите число всех возможных аккордов, содержащих ноту соль.
   
   г) Найдите число всех возможных аккордов, в которых нет подряд идущих нот.

а) Трезвучие — это упорядоченный выбор трёх клавиш из семи, поэтому

$$A_7^3=\frac{7!}{(7-3)!}=7\cdot 6\cdot 5=210.$$

б) Аккорд — это выбор трёх клавиш без учёта порядка, значит

$$C_7^3=\frac{7!}{3!(7-3)!}=\frac{7\cdot 6\cdot 5}{3\cdot 2\cdot 1}=35.$$

в) Если аккорд содержит ноту соль, то остаётся выбрать ещё две ноты из шести остальных:

$$C_6^2=\frac{6\cdot 5}{2}=15.$$

г) Всего аккордов:

$$C_7^3=35.$$

Аккорды с тремя подряд идущими нотами: $$5$$ (это тройки $$\{1,2,3\}, \{2,3,4\}, \{3,4,5\}, \{4,5,6\}, \{5,6,7\}$$).

Аккорды с ровно двумя подряд идущими нотами: выбираем пару соседних нот и третью ноту, не соседнюю с этой парой. Таких аккордов $$12$$.

Итак, число аккордов, в которых нет подряд идущих нот:

$$35-5-12=18.$$

Ответ: а) 210; б) 35; в) 15; г) 18.