Упр.52.12 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Решите неравенство: а) $$120 < A_{k-3}^2 < 140$$; б) $$C_6^2 < A_n^2 < C_8^2$$; в) $$C_{10}^2 < A_x^2 < 60$$; г) $$C_{19}^2 < A_x^2 + C_x^2 < 200$$.

Воспользуемся формулами:

$$A_n^k=\frac{n!}{(n-k)!}, \qquad C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}.$$

а)

$$120<A_{k-3}^2<140$$

$$A_{k-3}^2=\frac{(k-3)!}{(k-5)!}=(k-4)(k-3)=k^2-7k+12.$$

Тогда

$$120<k^2-7k+12<140$$

$$108<k^2-7k<128$$

$$108<k(k-7)<128.$$

Подбором находим:

$$15\cdot(15-7)=15\cdot 8=120,$$

значит, $$k=15.$$

б)

$$C_6^2<A_n^2<C_8^2$$

Вычислим:

$$C_6^2=\frac{6\cdot 5}{2}=15, \qquad C_8^2=\frac{8\cdot 7}{2}=28,$$

$$A_n^2=n(n-1).$$

Получаем

$$15<n(n-1)<28.$$

Подбором:

$$5\cdot 4=20,$$

следовательно, $$n=5.$$

в)

$$C_{10}^2<A_x^2<60$$

$$C_{10}^2=\frac{10\cdot 9}{2}=45, \qquad A_x^2=x(x-1).$$

Тогда

$$45<x(x-1)<60.$$

Подбором получаем:

$$8\cdot 7=56,$$

значит, $$x=8.$$

г)

$$C_{19}^2<A_x^2+C_x^2<200$$

$$C_{19}^2=\frac{19\cdot 18}{2}=171,$$

$$A_x^2=x(x-1), \qquad C_x^2=\frac{x(x-1)}{2}.$$

Следовательно,

$$A_x^2+C_x^2=x(x-1)+\frac{x(x-1)}{2}=\frac{3}{2}x(x-1).$$

Получаем неравенство

$$171<\frac{3}{2}x(x-1)<200,$$

или

$$114<x(x-1)<\frac{400}{3}.$$

Подбором:

$$12\cdot 11=132,$$

значит, $$x=12.$$

Ответ: а) $$15$$; б) $$5$$; в) $$8$$; г) $$12$$.