Упр.52.11 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. а) $$\text{А}x^5 = 18\text{А}(x — 2)^4$$; б) $$\text{А}(x — 1)^2 — \text{С}x^1 = 79$$; в) $$\text{С}x^3 = \text{А}x^2$$; г) $$\text{С}x^2 = \text{А}x^3 + \text{С}x^3$$.

Используем формулы $$A_n^k=\frac{n!}{(n-k)!}$$ и $$C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}.$$

а)

$$A_x^5=18A_{x-2}^4$$

$$\frac{x!}{(x-5)!}=18\cdot\frac{(x-2)!}{(x-6)!}$$

$$\frac{x(x-1)(x-2)!}{(x-5)!}=18\cdot\frac{(x-2)!}{(x-6)!}$$

$$\frac{x(x-1)}{x-5}=18$$

$$x(x-1)=18(x-5)$$

$$x^2-x=18x-90$$

$$x^2-19x+90=0$$

$$\left(x-9\right)\left(x-10\right)=0$$

$$x=9 \text{ или } x=10$$

б)

$$A_{x-1}^2-C_x^1=79$$

$$\frac{(x-1)!}{(x-3)!}-\frac{x!}{1!(x-1)!}=79$$

$$\frac{(x-1)(x-2)(x-3)!}{(x-3)!}-x=79$$

$$\left(x-1\right)\left(x-2\right)-x=79$$

$$x^2-3x+2-x-79=0$$

$$x^2-4x-77=0$$

$$\left(x-11\right)\left(x+7\right)=0$$

Так как $$x>0,$$ получаем $$x=11.$$

в)

$$C_x^3=A_x^2$$

$$\frac{x!}{3!(x-3)!}=\frac{x!}{(x-2)!}$$

$$\frac{1}{3!(x-3)!}=\frac{1}{(x-2)!}$$

$$\frac{1}{6}=\frac{1}{x-2}$$

$$x-2=6$$

$$x=8$$

г)

$$C_x^4=A_x^3+C_x^3$$

$$\frac{x!}{4!(x-4)!}=\frac{x!}{(x-3)!}+\frac{x!}{3!(x-3)!}$$

$$\frac{1}{4!(x-4)!}=\frac{1}{(x-3)!}+\frac{1}{3!(x-3)!}$$

$$\frac{1}{4!(x-4)!}=\frac{1+\frac{1}{3!}}{(x-3)!}$$

$$\frac{1}{24(x-4)!}=\frac{1+\frac{1}{6}}{(x-3)!}=\frac{7}{6(x-3)!}$$

$$\frac{(x-3)}{24}= \frac{7}{6}$$

$$x-3=28$$

$$x=31$$

Ответ: а) $$9,\,10$$; б) $$11$$; в) $$8$$; г) $$31$$.