Упр.52.10 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Решите уравнение:
   а) $$\mathrm{C}_x^2=2\mathrm{C}_x^2$$;
   б) $$\mathrm{C}_x^{x-2}=15$$;
   в) $$\mathrm{C}_x^2+\mathrm{C}_{x+1}^2=49$$;
   г) $$\mathrm{C}_8^x=70$$.

Используем формулу сочетаний:

$$C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}$$

Ход решения

1. $$C_x^3=2C_x^2$$

   $$\frac{x!}{3!(x-3)!}=2\cdot \frac{x!}{2!(x-2)!}$$

   $$\frac{1}{3\cdot 2\cdot (x-3)!}=\frac{2}{2\cdot (x-2)!}$$

   $$6(x-3)!=(x-2)!$$

   $$6=(x-2)$$

   $$x=8$$

2. $$C_x^{x-2}=15$$

   $$\frac{x!}{(x-2)!\,(x-(x-2))!}=15$$

   $$\frac{x!}{(x-2)!\cdot 2!}=15$$

   $$\frac{x(x-1)}{2}=15$$

   $$x^2-x-30=0$$

   $$D=1+120=121$$

   $$x=\frac{1\pm 11}{2}$$

   $$x_1=6,\quad x_2=-5$$

   Так как $$x>0$$, получаем $$x=6$$.

3. $$C_x^2+C_{x+1}^2=49$$

   $$\frac{x!}{2!(x-2)!}+\frac{(x+1)!}{2!(x-1)!}=49$$

   $$\frac{x(x-1)}{2}+\frac{x(x+1)}{2}=49$$

   $$x(x-1)+x(x+1)=98$$

   $$2x^2=98$$

   $$x^2=49$$

   Так как $$x>0$$, то $$x=7$$.

4. $$C_8^x=70$$

   $$\frac{8!}{x!(8-x)!}=70$$

   Так как $$C_8^x=C_8^{8-x}$$, то подбираем значения:

   $$C_8^4=\frac{8!}{4!\,4!}=70$$

   Следовательно, $$x=4$$.

Ответ

а) $$8$$; б) $$6$$; в) $$7$$; г) $$4$$.