Упр.51.3 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. В круге радиусом $$\sqrt{3}$$ с центром в начале координат отмечены все точки, абсциссы и ординаты которых являются целыми числами. Из отмеченных точек случайным образом выбирают одну. Найдите вероятность того, что:
   а) она лежит на оси ординат;
   б) она лежит не на координатных осях;
   в) она лежит в круге радиуса $$1$$ с центром в начале координат;
   г) её абсцисса и ордината отличаются более чем на $$2$$.

В круге радиусом $$\sqrt{3}$$ с центром в начале координат отмечены все точки с целыми координатами. Возможные значения абсциссы и ординаты: $$-1,\ 0,\ 1.$$

Значит, всего отмеченных точек:

$$3 \cdot 3 = 9.$$

а)

На оси ординат лежат точки с $$x=0$$. Таких точек три:

$$(-0; -1),\ (0; 0),\ (0; 1).$$

Следовательно,

$$P=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}.$$

б)

Не на координатных осях лежат точки, у которых $$x \ne 0$$ и $$y \ne 0$$. Таких точек четыре:

$$(-1; -1),\ (-1; 1),\ (1; -1),\ (1; 1).$$

Тогда

$$P=\frac{4}{9}.$$

в)

В круг радиуса $$1$$ с центром в начале координат попадают точки:

$$(-1; 0),\ (0; -1),\ (0; 0),\ (0; 1),\ (1; 0).$$

Их пять, значит

$$P=\frac{5}{9}.$$

г)

Для всех отмеченных точек выполняется $$|x-y| \le 2$$, поэтому условие $$|x-y| > 2$$ не выполняется ни для одной точки.

Следовательно,

$$P=0.$$

Ответ: а) $$\frac{1}{3}$$; б) $$\frac{4}{9}$$; в) $$\frac{5}{9}$$; г) $$0$$.