Упр.5.17 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Используем связь между точками единичной окружности и углом $$t$$: координаты точки имеют вид $$\bigl(\cos t,\sin t\bigr).$$

1. $$y<\frac{\sqrt2}{2}.$$

   Граница задаётся уравнением $$y=\frac{\sqrt2}{2}.$$ На окружности ему соответствуют точки с углами $$t=\frac{\pi}{4}$$ и $$t=\frac{3\pi}{4}.$$

   Точки, для которых $$y<\frac{\sqrt2}{2},$$ лежат на дуге между этими значениями угла:

   $$-\frac{5\pi}{4}+2\pi k<t<\frac{\pi}{4}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

2. $$y>-\frac{\sqrt2}{2}.$$

   Граница задаётся уравнением $$y=-\frac{\sqrt2}{2}.$$ Ему соответствуют углы $$t=-\frac{\pi}{4}$$ и $$t=\frac{5\pi}{4}.$$

   Следовательно,

   $$-\frac{\pi}{4}+2\pi k<t<\frac{5\pi}{4}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

3. $$y\le -\frac{\sqrt3}{2}.$$

   Граница соответствует углам $$t=\frac{4\pi}{3}$$ и $$t=\frac{5\pi}{3}.$$

   Тогда

   $$\frac{4\pi}{3}+2\pi k\le t\le \frac{5\pi}{3}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

4. $$y\ge \frac{\sqrt3}{2}.$$

   Граница соответствует углам $$t=\frac{\pi}{3}$$ и $$t=\frac{2\pi}{3}.$$

   Значит,

   $$\frac{\pi}{3}+2\pi k\le t\le \frac{2\pi}{3}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$-\frac{5\pi}{4}+2\pi k<t<\frac{\pi}{4}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z$$;
б) $$-\frac{\pi}{4}+2\pi k<t<\frac{5\pi}{4}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z$$;
в) $$\frac{4\pi}{3}+2\pi k\le t\le \frac{5\pi}{3}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z$$;
г) $$\frac{\pi}{3}+2\pi k\le t\le \frac{2\pi}{3}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z$$.