Упр.5.14 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Найдите на числовой окружности точки с абсциссой или ординатой, удовлетворяющей заданному неравенству, и запишите (с помощью двойного неравенства), каким числам $$t$$ они соответствуют: а) $$x>0$$; б) $$x<\frac{1}{2}$$; в) $$x>\frac{1}{2}$$; г) $$x<0$$.

На числовой окружности точки с заданной абсциссой выделяют соответствующую дугу, а затем записывают все значения $$t$$, которым эта дуга соответствует.

а) $$x>0$$

Границы дуги задаются точками $$M_1(0;-1)$$ и $$M_2(0;1)$$, то есть

$$t_1=-\frac{\pi}{2}, \qquad t_2=\frac{\pi}{2}.$$

Следовательно,

$$-\frac{\pi}{2}+2\pi k<t<\frac{\pi}{2}+2\pi k,\qquad k\in\mathbb Z.$$

б) $$x<\frac12$$

Границы дуги задаются точками

$$M_1\left(\frac12;\frac{\sqrt3}{2}\right), \qquad M_2\left(\frac12;-\frac{\sqrt3}{2}\right),$$

то есть

$$t_1=\frac{\pi}{3}, \qquad t_2=\frac{5\pi}{3}.$$

Значит,

$$\frac{\pi}{3}+2\pi k<t<\frac{5\pi}{3}+2\pi k,\qquad k\in\mathbb Z.$$

в) $$x>\frac12$$

Границы дуги задаются точками

$$M_1\left(\frac12;-\frac{\sqrt3}{2}\right), \qquad M_2\left(\frac12;\frac{\sqrt3}{2}\right),$$

то есть

$$t_1=-\frac{\pi}{3}, \qquad t_2=\frac{\pi}{3}.$$

Следовательно,

$$-\frac{\pi}{3}+2\pi k<t<\frac{\pi}{3}+2\pi k,\qquad k\in\mathbb Z.$$

г) $$x<0$$

Границы дуги задаются точками $$M_1(0;1)$$ и $$M_2(0;-1)$$, то есть

$$t_1=\frac{\pi}{2}, \qquad t_2=\frac{3\pi}{2}.$$

Значит,

$$\frac{\pi}{2}+2\pi k<t<\frac{3\pi}{2}+2\pi k,\qquad k\in\mathbb Z.$$

Ответ

$$\begin{aligned} &\text{а) } -\frac{\pi}{2}+2\pi k<t<\frac{\pi}{2}+2\pi k, \qquad k\in\mathbb Z;\\ &\text{б) } \frac{\pi}{3}+2\pi k<t<\frac{5\pi}{3}+2\pi k, \qquad k\in\mathbb Z;\\ &\text{в) } -\frac{\pi}{3}+2\pi k<t<\frac{\pi}{3}+2\pi k, \qquad k\in\mathbb Z;\\ &\text{г) } \frac{\pi}{2}+2\pi k<t<\frac{3\pi}{2}+2\pi k, \qquad k\in\mathbb Z. \end{aligned}$$