Упр.49.9 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Дан прямолинейный стержень длиной $$l$$. Он неоднороден, и его плотность в точке, удалённой от левого конца на $$x$$, $$0\leq x\leq l$$, определяется по формуле $$\rho=\rho(x)$$. Найдите массу стержня, если:

а) $$\rho(x)=x^2-x+1$$, $$l=6$$;

б) $$\rho(x)=\frac{1}{(x+3)^2}$$, $$l=3$$;

в) $$\rho(x)=-x^2+6x$$, $$l=2$$;

г) $$\rho(x)=\frac{1}{(2x+1)^2}$$, $$l=1$$.

Масса стержня находится по формуле

$$m=\int_0^l \rho(x)\,dx.$$

1. $$\rho(x)=x^2-x+1,\quad l=6.$$

   $$m=\int_0^6 (x^2-x+1)\,dx =\left(\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}+x\right)\Bigg|_0^6 =\frac{216}{3}-\frac{36}{2}+6=60.$$

2. $$\rho(x)=\frac{1}{(x+3)^2},\quad l=3.$$

   $$m=\int_0^3 \frac{1}{(x+3)^2}\,dx =\int_0^3 (x+3)^{-2}\,dx =\left(-\frac{1}{x+3}\right)\Bigg|_0^3 =-\frac16+\frac13=\frac16.$$

3. $$\rho(x)=-x^2+6x,\quad l=2.$$

   $$m=\int_0^2 (-x^2+6x)\,dx =\left(-\frac{x^3}{3}+3x^2\right)\Bigg|_0^2 =-\frac{8}{3}+12=\frac{28}{3}=9\frac13.$$

4. $$\rho(x)=\frac{1}{(2x+1)^2},\quad l=1.$$

   $$m=\int_0^1 \frac{1}{(2x+1)^2}\,dx =\int_0^1 (2x+1)^{-2}\,dx =\frac12\left(-\frac{1}{2x+1}\right)\Bigg|_0^1 =-\frac16+\frac12=\frac13.$$

Ответ: а) $$60$$; б) $$\frac16$$; в) $$\frac{28}{3}$$; г) $$\frac13$$.