Упр.49.8 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Материальная точка движется по прямой со скоростью, определяемой формулой $$v=v(t)$$ (время измеряется в секундах, а скорость — в сантиметрах в секунду). Какой путь пройдёт точка за 3 секунды, считая от начала движения ($$t=0$$)?
   а) $$v(t)=3t^2-4t+1$$;
   б) $$v(t)=\frac{1}{\sqrt{5t+1}}$$;
   в) $$v(t)=4t^3-6t^2$$;
   г) $$v(t)=\frac{1}{\sqrt{7t+4}}$$.

Путь за первые $$3$$ секунды равен определённому интегралу от скорости:

$$s=\int\limits_0^3 v(t)\,dt.$$

а)

$$v(t)=3t^2-4t+1$$

$$s=\int\limits_0^3 (3t^2-4t+1)\,dt =\left(t^3-2t^2+t\right)\Big|_0^3 =27-18+3=12.$$

Ответ: $$12\text{ см}$$.

б)

$$v(t)=\frac{1}{\sqrt{5t+1}}=(5t+1)^{-\frac12}$$

$$s=\int\limits_0^3 (5t+1)^{-\frac12}\,dt =\frac15\cdot \frac{(5t+1)^{\frac12}}{\frac12}\Bigg|_0^3 =\frac25\sqrt{5t+1}\Bigg|_0^3.$$

$$s=\frac25\left(\sqrt{16}-\sqrt{1}\right)=\frac25(4-1)=\frac65=1{,}2.$$

Ответ: $$1{,}2\text{ см}$$.

в)

$$v(t)=4t^3-6t^2$$

$$s=\int\limits_0^3 (4t^3-6t^2)\,dt =\left(t^4-2t^3\right)\Big|_0^3 =81-54=27.$$

Ответ: $$27\text{ см}$$.

г)

$$v(t)=\frac{1}{\sqrt{7t+4}}=(7t+4)^{-\frac12}$$

$$s=\int\limits_0^3 (7t+4)^{-\frac12}\,dt =\frac17\cdot \frac{(7t+4)^{\frac12}}{\frac12}\Bigg|_0^3 =\frac27\sqrt{7t+4}\Bigg|_0^3.$$

$$s=\frac27\left(\sqrt{25}-\sqrt{4}\right)=\frac27(5-2)=\frac67.$$

Ответ: $$\frac67\text{ см}$$.