Упр.49.6 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

• а) $$\int_{1}^{2}\frac{dx}{x}$$;
  б) $$\int_{1}^{2}\left(e^x+\frac{1}{x}\right)\,dx$$;
  в) $$\int_{0}^{1}\frac{0{,}1}{x+1}\,dx$$;
  г) $$\int_{1}^{2}\left(e^{2x}+\frac{2}{x}\right)\,dx$$.

а) $$\int_{1}^{2}\frac{dx}{x}=\ln|x|\Big|_{1}^{2}=\ln 2-\ln 1=\ln 2.$$

Ответ: $$\ln 2.$$

б) $$\int_{1}^{2}\left(e^x+\frac{1}{x}\right)dx=\int_{1}^{2}e^x\,dx+\int_{1}^{2}\frac{1}{x}\,dx.$$

Тогда

$$\int_{1}^{2}e^x\,dx=e^x\Big|_{1}^{2}=e^2-e,$$

$$\int_{1}^{2}\frac{1}{x}\,dx=\ln|x|\Big|_{1}^{2}=\ln 2.$$

Следовательно,

$$\int_{1}^{2}\left(e^x+\frac{1}{x}\right)dx=e^2-e+\ln 2.$$

Ответ: $$e^2-e+\ln 2.$$

в) $$\int_{0}^{1}\frac{0{,}1}{x+1}\,dx=0{,}1\int_{0}^{1}\frac{dx}{x+1}.$$

Имеем

$$0{,}1\int_{0}^{1}\frac{dx}{x+1}=0{,}1\ln|x+1|\Big|_{0}^{1}=0{,}1(\ln 2-\ln 1)=0{,}1\ln 2.$$

Ответ: $$0{,}1\ln 2.$$

г) $$\int_{1}^{2}\left(e^{2x}+\frac{2}{x}\right)dx=\int_{1}^{2}e^{2x}\,dx+\int_{1}^{2}\frac{2}{x}\,dx.$$

Находим:

$$\int e^{2x}\,dx=\frac{1}{2}e^{2x}, \qquad \int \frac{2}{x}\,dx=2\ln|x|.$$

Тогда

$$\int_{1}^{2}\left(e^{2x}+\frac{2}{x}\right)dx=\left(\frac{1}{2}e^{2x}+2\ln|x|\right)\Big|_{1}^{2}$$

$$=\left(\frac{1}{2}e^4+2\ln 2\right)-\left(\frac{1}{2}e^2+2\ln 1\right)=\frac{1}{2}(e^4-e^2)+2\ln 2.$$

Ответ: $$\frac{1}{2}(e^4-e^2)+2\ln 2.$$