Упр.49.4 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. а) $$\int_{0}^{4} e^{0{,}5x-1}\,dx$$; б) $$\int_{-1}^{1} e^{2x+1}\,dx$$; в) $$\int_{-4}^{4} e^{0{,}25x+1}\,dx$$; г) $$\int_{-0{,}5}^{0} e^{-2x+2}\,dx$$.

Воспользуемся формулой первообразной для показательной функции:

$$\int e^{kx+b}\,dx=\frac{1}{k}e^{kx+b}+C.$$

Ход решения

1. $$\int\limits_{0}^{4} e^{0{,}5x-1}\,dx=\left.\frac{1}{0{,}5}e^{0{,}5x-1}\right|_{0}^{4}=2e^{0{,}5x-1}\Big|_{0}^{4}$$

   $$=2e^{0{,}5\cdot 4-1}-2e^{0{,}5\cdot 0-1}=2e- \frac{2}{e}=\frac{2}{e}(e^2-1).$$

2. $$\int\limits_{-1}^{1} e^{2x+1}\,dx=\left.\frac{1}{2}e^{2x+1}\right|_{-1}^{1}=\frac{1}{2}e^{2x+1}\Big|_{-1}^{1}$$

   $$=\frac{1}{2}e^{3}-\frac{1}{2}e^{-1}=\frac{e^4-1}{2e}.$$

3. $$\int\limits_{-4}^{4} e^{0{,}25x+1}\,dx=\left.\frac{1}{0{,}25}e^{0{,}25x+1}\right|_{-4}^{4}=4e^{0{,}25x+1}\Big|_{-4}^{4}$$

   $$=4e^{2}-4e^{0}=4e^2-4=4(e^2-1).$$

4. $$\int\limits_{-0{,}5}^{0} e^{-2x+2}\,dx=\left.-\frac{1}{2}e^{-2x+2}\right|_{-0{,}5}^{0}=-\frac{1}{2}e^{-2x+2}\Big|_{-0{,}5}^{0}$$

   $$=-\frac{1}{2}e^2+\frac{1}{2}e^3=\frac{e^2}{2}(e-1).$$

Ответ

а) $$\frac{2}{e}(e^2-1)$$; б) $$\frac{e^4-1}{2e}$$; в) $$4(e^2-1)$$; г) $$\frac{e^2}{2}(e-1)$$.