Упр.49.34 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции $$y=x^3-6x^2+9x+1$$ и касательной к нему в точке $$x=3$$.

б) Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции $$y=x^3-3x$$ и касательной к нему в точке $$x=-1$$.

а) Найдём уравнение касательной к графику $$y=x^3-6x^2+9x+1$$ в точке $$x=3$$.

$$y’ = 3x^2-12x+9,$$

$$y'(3)=3\cdot 3^2-12\cdot 3+9=27-36+9=0,$$

$$y(3)=3^3-6\cdot 3^2+9\cdot 3+1=27-54+27+1=1.$$

Тогда касательная имеет вид

$$y=0\cdot (x-3)+1=1.$$

Точки пересечения графика и касательной найдём из уравнения

$$x^3-6x^2+9x+1=1,$$

$$x^3-6x^2+9x=0,$$

$$x(x^2-6x+9)=0,$$

$$x(x-3)^2=0.$$

Отсюда $$x=0$$ и $$x=3$$. На отрезке $$[0;3]$$ график функции расположен выше касательной, поэтому

$$S=\int\limits_0^3 \bigl((x^3-6x^2+9x+1)-1\bigr)\,dx=\int\limits_0^3 (x^3-6x^2+9x)\,dx.$$

$$S=\left(\frac{x^4}{4}-2x^3+\frac{9x^2}{2}\right)\Bigg|_0^3 =\frac{81}{4}-54+\frac{81}{2} =\frac{27}{4}=6{,}75.$$

б) Найдём уравнение касательной к графику $$y=x^3-3x$$ в точке $$x=-1$$.

$$y’ = 3x^2-3,$$

$$y'(-1)=3\cdot (-1)^2-3=3-3=0,$$

$$y(-1)=(-1)^3-3\cdot (-1)=-1+3=2.$$

Следовательно, касательная:

$$y=0\cdot (x+1)+2=2.$$

Точки пересечения графика и касательной найдём из уравнения

$$x^3-3x=2,$$

$$x^3-3x-2=0,$$

$$x^3+2x^2-3x-2x^2-4x-2=0,$$

$$x(x^2+2x+1)-2(x^2+2x+1)=0,$$

$$x(x-2)(x+1)^2=0.$$

Отсюда $$x=-1$$ и $$x=2$$. На отрезке $$[-1;2]$$ график функции расположен ниже касательной, значит

$$S=\int\limits_{-1}^2 \bigl(2-(x^3-3x)\bigr)\,dx=\int\limits_{-1}^2 (2-x^3+3x)\,dx.$$

$$S=\left(2x-\frac{x^4}{4}+\frac{3x^2}{2}\right)\Bigg|_{-1}^2 =\left(4-4+6\right)-\left(-2-\frac14+\frac32\right) =\frac{27}{4}=6{,}75.$$

Ответ: а) $$6{,}75$$; б) $$6{,}75$$.