Упр.49.33 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. а) Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции $$y=x^3$$, касательной к нему в точке $$x=1$$ и осью $$y$$.
   б) Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции $$y=x^3$$ и касательными к нему в точках $$x=0$$ и $$x=1$$.

Найдём уравнение касательной к графику $$y=x^3$$.

Производная:

$$y’ = 3x^2$$

а)

В точке $$x=1$$ имеем:

$$y'(1)=3,\qquad y(1)=1$$

Уравнение касательной:

$$y=3(x-1)+1=3x-2$$

Искомая площадь равна разности между графиком функции и касательной на отрезке $$[0;1]$$:

$$S=\int\limits_0^1 \bigl(x^3-(3x-2)\bigr)\,dx =\int\limits_0^1 (x^3-3x+2)\,dx$$

$$S=\left(\frac{x^4}{4}-\frac{3x^2}{2}+2x\right)\Bigg|_0^1 =\left(\frac14-\frac32+2\right)-0 =\frac34$$

б)

В точке $$x=0$$:

$$y'(0)=0,\qquad y(0)=0$$

Значит, касательная имеет уравнение:

$$y=0$$

В точке $$x=1$$ касательная уже найдена:

$$y=3x-2$$

Точка пересечения касательной $$y=3x-2$$ с осью $$Ox$$:

$$3x-2=0,\qquad x=\frac23$$

Тогда площадь фигуры:

$$S=\int\limits_0^{\frac23} x^3\,dx+\int\limits_{\frac23}^1 \bigl(x^3-(3x-2)\bigr)\,dx$$

$$S=\left(\frac{x^4}{4}\right)\Bigg|_0^{\frac23} +\left(\frac{x^4}{4}-\frac{3x^2}{2}+2x\right)\Bigg|_{\frac23}^1$$

$$S=\frac{1}{4}\cdot\frac{16}{81} +\left(\frac14-\frac32+2-\left(\frac{1}{4}\cdot\frac{16}{81}-\frac32\cdot\frac49+\frac43\right)\right) =\frac{1}{12}$$

Ответ: а) $$\frac34$$; б) $$\frac{1}{12}$$.