Упр.49.32 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:

а) $$y=\sin 2x$$, $$y=\frac{16x^2}{\pi^2}$$;

б) $$y=x^2-1$$, $$y=\cos\frac{\pi x}{2}$$;

в) $$y=\cos x$$, $$y=\left(\frac{2x}{\pi}-1\right)^2$$;

г) $$y=x^2-2x$$, $$y=\sin\frac{\pi x}{2}$$.

а) Точки пересечения найдём из уравнения

$$\sin 2x=\frac{16x^2}{\pi^2}.$$

Подходящие точки: $$x=0$$ и $$x=\frac{\pi}{4}.$$ На отрезке $$\left[0;\frac{\pi}{4}\right]$$ сверху расположена функция $$y=\sin 2x$$, поэтому

$$S=\int\limits_{0}^{\pi/4}\left(\sin 2x-\frac{16x^2}{\pi^2}\right)\,dx =\left(-\frac12\cos 2x-\frac{16}{\pi^2}\cdot\frac{x^3}{3}\right)\Bigg|_{0}^{\pi/4}.$$

$$S=\left(-\frac12\cos\frac{\pi}{2}-\frac{16}{3\pi^2}\cdot\frac{\pi^3}{64}\right)-\left(-\frac12\cos 0\right) =\frac12-\frac{\pi}{12} =\frac{6-\pi}{12}.$$

Ответ: $$\frac{6-\pi}{12}.$$

б) Точки пересечения найдём из уравнения

$$x^2-1=\cos\frac{\pi x}{2}.$$

Подходящие точки: $$x=-1$$ и $$x=1.$$ На отрезке $$[-1;1]$$ сверху расположена функция $$y=\cos\frac{\pi x}{2}$$, поэтому

$$S=\int\limits_{-1}^{1}\left(\cos\frac{\pi x}{2}-(x^2-1)\right)\,dx =\left(\frac{2}{\pi}\sin\frac{\pi x}{2}-\frac{x^3}{3}+x\right)\Bigg|_{-1}^{1}.$$

$$S=\left(\frac{2}{\pi}\cdot 1-\frac13+1\right)-\left(\frac{2}{\pi}\cdot(-1)-\frac{(-1)^3}{3}-1\right) =\frac{4}{\pi}+\frac{4}{3} =\frac{4(3+\pi)}{3\pi}.$$

Ответ: $$\frac{4(3+\pi)}{3\pi}.$$

в) Точки пересечения найдём из уравнения

$$\cos x=\left(\frac{2x}{\pi}-1\right)^2.$$

Подходящие точки: $$x=0$$ и $$x=\frac{\pi}{2}.$$ На отрезке $$\left[0;\frac{\pi}{2}\right]$$ сверху расположена функция $$y=\cos x$$, поэтому

$$S=\int\limits_{0}^{\pi/2}\left(\cos x-\left(\frac{2x}{\pi}-1\right)^2\right)\,dx.$$

Раскроем квадрат:

$$\left(\frac{2x}{\pi}-1\right)^2=\frac{4x^2}{\pi^2}-\frac{4x}{\pi}+1.$$

Тогда

$$S=\int\limits_{0}^{\pi/2}\left(\cos x-\frac{4x^2}{\pi^2}+\frac{4x}{\pi}-1\right)\,dx =\left(\sin x-\frac{4x^3}{3\pi^2}+\frac{2x^2}{\pi}-x\right)\Bigg|_{0}^{\pi/2}.$$

$$S=1-\frac{4}{3\pi^2}\cdot\frac{\pi^3}{8}+\frac{2}{\pi}\cdot\frac{\pi^2}{4}-\frac{\pi}{2} =1-\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{2} =1-\frac{\pi}{6} =\frac{6-\pi}{6}.$$

Ответ: $$\frac{6-\pi}{6}.$$

г) Точки пересечения найдём из уравнения

$$x^2-2x=\sin\frac{\pi x}{2}.$$

Подходящие точки: $$x=0$$ и $$x=2.$$ На отрезке $$[0;2]$$ сверху расположена функция $$y=\sin\frac{\pi x}{2}$$, поэтому

$$S=\int\limits_{0}^{2}\left(\sin\frac{\pi x}{2}-(x^2-2x)\right)\,dx =\left(-\frac{2}{\pi}\cos\frac{\pi x}{2}-\frac{x^3}{3}+x^2\right)\Bigg|_{0}^{2}.$$

$$S=\left(-\frac{2}{\pi}\cos\pi-\frac{8}{3}+4\right)-\left(-\frac{2}{\pi}\cos 0\right) =\frac{8}{3}+\frac{4}{\pi}-\frac{4}{\pi} =\frac{8}{3}.$$

Ответ: $$\frac{8}{3}.$$