Упр.49.31 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Найдите площадь параболического сегмента, изображённого на: а) рис. 74; б) рис. 75.

а) По рисунку парабола проходит через точки $$(-1,-3)$$, $$\left(1,1\right)$$, $$\left(2,0\right)$$, а прямая — через точки $$\left(0,-2\right)$$ и $$\left(2,0\right)$$.

Уравнение параболы:

$$y=a(x-1)^2+1.$$

Так как точка $$\left(0,0\right)$$ лежит на параболе, то

$$0=a(0-1)^2+1,$$

$$a=-1.$$

Значит,

$$y=-(x-1)^2+1=-x^2+2x.$$

Уравнение прямой:

$$y=kx+b.$$

Из точек $$\left(0,-2\right)$$ и $$\left(2,0\right)$$ получаем:

$$b=-2,$$

$$0=2k-2,$$

$$k=1.$$

Следовательно, $$y=x-2.$$

Площадь параболического сегмента:

$$S=\int\limits_{-1}^{2}\bigl((-x^2+2x)-(x-2)\bigr)\,dx =\int\limits_{-1}^{2}(-x^2+x+2)\,dx.$$

$$S=\left(-\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}+2x\right)\Bigg|_{-1}^{2} =\left(-\frac{8}{3}+2+4\right)-\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{2}-2\right) =\frac{9}{2}.$$

Итак, $$S=4{,}5.$$

б) По рисунку вершина параболы $$\left(1,-2\right)$$, а она проходит через точки $$\left(-1,2\right)$$ и $$\left(2,-1\right)$$.

Запишем параболу в виде

$$y=a(x-1)^2-2.$$

Подставим точку $$\left(2,-1\right)$$:

$$-1=a(2-1)^2-2,$$

$$a=1.$$

Тогда

$$y=(x-1)^2-2=x^2-2x-1.$$

Прямая проходит через точки $$\left(0,1\right)$$ и $$\left(1,0\right)$$, значит

$$y=-x+1.$$

Площадь фигуры:

$$S=\int\limits_{-1}^{2}\bigl((-x+1)-(x^2-2x-1)\bigr)\,dx =\int\limits_{-1}^{2}(-x^2+x+2)\,dx.$$

$$S=\left(-\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}+2x\right)\Bigg|_{-1}^{2} =\frac{9}{2}.$$

Итак, $$S=4{,}5.$$

Ответ: а) $$4{,}5$$; б) $$4{,}5$$.