Упр.49.30 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) $$\int_{0}^{\sqrt{2}}\sqrt{4-x^2}\,dx$$; б) $$\int_{-4}^{4}\sqrt{64-x^2}\,dx$$.

а) Рассмотрим функцию $$y=\sqrt{4-x^2}.$$ Тогда

$$y^2=4-x^2,$$

$$x^2+y^2=4.$$

Это верхняя полуокружность радиуса $$R=2$$ с центром в начале координат.

На отрезке $$0\le x\le \sqrt{2}$$ площадь под графиком состоит из площади сектора с центральным углом $$45^\circ$$ и площади прямоугольного равнобедренного треугольника:

$$S_1=\frac{1}{2}\cdot \sqrt{2}\cdot \sqrt{2}=1,$$

$$S_2=\frac{\pi R^2\cdot 45^\circ}{360^\circ}=\frac{\pi\cdot 2^2\cdot 45}{360}=\frac{\pi}{2}.$$

Тогда

$$\int\limits_0^{\sqrt{2}}\sqrt{4-x^2}\,dx=S_1+S_2=1+\frac{\pi}{2}.$$

б) Аналогично,

$$y=\sqrt{64-x^2},$$

$$x^2+y^2=64,$$

то есть это верхняя полуокружность радиуса $$R=8.$$

На отрезке $$-4\le x\le 4$$ искомая площадь симметрична относительно оси $$Oy$$, поэтому

$$\int\limits_{-4}^{4}\sqrt{64-x^2}\,dx=2\int\limits_0^4\sqrt{64-x^2}\,dx.$$

Для части при $$0\le x\le 4$$ получаем сектор с углом $$30^\circ$$ и прямоугольный треугольник:

$$S_1=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 4\sqrt{3}=8\sqrt{3},$$

$$S_2=\frac{\pi R^2\cdot 30^\circ}{360^\circ}=\frac{\pi\cdot 8^2\cdot 30}{360}=\frac{16\pi}{3}.$$

Тогда

$$\int\limits_{-4}^{4}\sqrt{64-x^2}\,dx=2\left(8\sqrt{3}+\frac{16\pi}{3}\right)=16\sqrt{3}+\frac{32\pi}{3}=\frac{16}{3}\left(2\pi+3\sqrt{3}\right).$$

Ответ

а) $$1+\frac{\pi}{2}$$; б) $$\frac{16}{3}\left(2\pi+3\sqrt{3}\right).$$