Упр.49.28 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Используя геометрические соображения, вычислите интеграл: а) $$\int_0^4 \sqrt{16-x^2}\,dx$$; б) $$\int_{-5}^0 \sqrt{25-x^2}\,dx$$.

Рассмотрим подынтегральную функцию как уравнение окружности.

а) $$y=\sqrt{16-x^2}$$

Тогда

$$y^2=16-x^2$$

$$x^2+y^2=16$$

Это верхняя четверть окружности радиуса $$R=4$$. На отрезке $$0\le x\le 4$$ интеграл равен площади четверти круга:

$$\int\limits_0^4 \sqrt{16-x^2}\,dx=\frac14\pi R^2=\frac14\pi\cdot 4^2=4\pi.$$

б) $$y=\sqrt{25-x^2}$$

Тогда

$$y^2=25-x^2$$

$$x^2+y^2=25$$

Это верхняя четверть окружности радиуса $$R=5$$. На отрезке $$-5\le x\le 0$$ интеграл также равен площади четверти круга:

$$\int\limits_{-5}^0 \sqrt{25-x^2}\,dx=\frac14\pi R^2=\frac14\pi\cdot 5^2=\frac{25\pi}{4}.$$

Ответ: а) $$4\pi$$; б) $$\frac{25\pi}{4}$$.