Упр.49.26 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
а) $$y=3-x^2$$, $$y=1+|x|$$; б) $$y=x^2$$, $$y=2-|x|$$.
а) Графики функций $$y=3-x^2$$ и $$y=1+|x|$$ чётные, поэтому искомая фигура симметрична относительно оси $$Oy$$.
Найдём точки пересечения при $$x \ge 0$$:
$$3-x^2=1+x$$
$$x^2+x-2=0$$
$$D=1+8=9$$
$$x_1=\frac{-1-3}{2}=-2,\qquad x_2=\frac{-1+3}{2}=1$$
На отрезке $$[0;1]$$ верхняя функция — $$y=3-x^2$$, нижняя — $$y=1+x$$. Тогда
$$S=2\int\limits_0^1\bigl((3-x^2)-(1+x)\bigr)\,dx=2\int\limits_0^1(2-x^2-x)\,dx$$
$$S=2\left(2x-\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}\right)\Bigg|_0^1=2\left(2-\frac13-\frac12\right)=2\cdot\frac76=\frac73$$
Ответ: $$\frac73$$.
б) Графики функций $$y=x^2$$ и $$y=2-|x|$$ также чётные, значит фигура симметрична относительно оси $$Oy$$.
Найдём точки пересечения при $$x \ge 0$$:
$$x^2=2-x$$
$$x^2+x-2=0$$
$$D=1+8=9$$
$$x_1=\frac{-1-3}{2}=-2,\qquad x_2=\frac{-1+3}{2}=1$$
На отрезке $$[0;1]$$ верхняя функция — $$y=2-x$$, нижняя — $$y=x^2$$. Тогда
$$S=2\int\limits_0^1\bigl((2-x)-x^2\bigr)\,dx=2\int\limits_0^1(2-x-x^2)\,dx$$
$$S=2\left(2x-\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right)\Bigg|_0^1=2\left(2-\frac12-\frac13\right)=2\cdot\frac76=\frac73$$
Ответ: $$\frac73$$.
