Упр.49.23 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиками функций: а) $$y=1-x^2$$, $$y=-x-1$$; б) $$y=x^2-3x+2$$, $$y=x-1$$; в) $$y=x^2-1$$, $$y=2x+2$$; г) $$y=-x^2+2x+3$$, $$y=3-x$$.

а) Найдём точки пересечения графиков:

$$1-x^2=-x-1$$

$$x^2-x-2=0$$

$$\left(x+1\right)\left(x-2\right)=0$$

$$x_1=-1,\quad x_2=2$$

На отрезке $$[-1;2]$$ сверху расположена функция $$y=1-x^2$$, снизу — $$y=-x-1$$. Тогда

$$S=\int_{-1}^{2}\bigl((1-x^2)-(-x-1)\bigr)\,dx =\int_{-1}^{2}(-x^2+x+2)\,dx$$

$$S=\left(-\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}+2x\right)\Bigg|_{-1}^{2} =\frac{9}{2}$$

Ответ: $$4{,}5$$.

б) Найдём точки пересечения графиков:

$$x^2-3x+2=x-1$$

$$x^2-4x+3=0$$

$$\left(x-1\right)\left(x-3\right)=0$$

$$x_1=1,\quad x_2=3$$

На отрезке $$[1;3]$$ сверху расположена функция $$y=x-1$$, снизу — $$y=x^2-3x+2$$. Тогда

$$S=\int_{1}^{3}\bigl((x-1)-(x^2-3x+2)\bigr)\,dx =\int_{1}^{3}(-x^2+4x-3)\,dx$$

$$S=\left(-\frac{x^3}{3}+2x^2-3x\right)\Bigg|_{1}^{3} =\frac{4}{3}$$

Ответ: $$1\frac{1}{3}$$.

в) Найдём точки пересечения графиков:

$$x^2-1=2x+2$$

$$x^2-2x-3=0$$

$$\left(x+1\right)\left(x-3\right)=0$$

$$x_1=-1,\quad x_2=3$$

На отрезке $$[-1;3]$$ сверху расположена функция $$y=2x+2$$, снизу — $$y=x^2-1$$. Тогда

$$S=\int_{-1}^{3}\bigl((2x+2)-(x^2-1)\bigr)\,dx =\int_{-1}^{3}(-x^2+2x+3)\,dx$$

$$S=\left(-\frac{x^3}{3}+x^2+3x\right)\Bigg|_{-1}^{3} =\frac{32}{3}$$

Ответ: $$10\frac{2}{3}$$.

г) Найдём точки пересечения графиков:

$$-x^2+2x+3=3-x$$

$$-x^2+3x=0$$

$$x\left(x-3\right)=0$$

$$x_1=0,\quad x_2=3$$

На отрезке $$[0;3]$$ сверху расположена функция $$y=-x^2+2x+3$$, снизу — $$y=3-x$$. Тогда

$$S=\int_{0}^{3}\bigl((-x^2+2x+3)-(3-x)\bigr)\,dx =\int_{0}^{3}(-x^2+3x)\,dx$$

$$S=\left(-\frac{x^3}{3}+\frac{3x^2}{2}\right)\Bigg|_{0}^{3} =\frac{9}{2}$$

Ответ: $$4{,}5$$.