Упр.49.22 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) $$y=e^x$$, $$y=\frac{1}{x}$$, $$x=2$$, $$x=3$$;

б) $$y=\frac{1}{x}$$, $$y=1$$, $$x=5$$;

в) $$y=\sqrt{x}$$, $$y=\frac{1}{x}$$, $$x=4$$;

г) $$y=-\frac{1}{x}$$, $$y=-1$$, $$x=e$$.

а) Найдём площадь фигуры, ограниченной линиями $$y=e^x,$$ $$y=\frac{1}{x},$$ $$x=2,$$ $$x=3.$$

На отрезке $$[2;3]$$ выполняется неравенство $$e^x>\frac{1}{x},$$ поэтому

$$S=\int_{2}^{3}\left(e^x-\frac{1}{x}\right)\,dx =\left(e^x-\ln|x|\right)\Big|_{2}^{3} =(e^3-\ln 3)-(e^2-\ln 2).$$

$$S=e^3-e^2+\ln\frac{2}{3}.$$

Ответ: $$e^3-e^2+\ln\frac{2}{3}.$$

б) Найдём площадь фигуры, ограниченной линиями $$y=\frac{1}{x},$$ $$y=1,$$ $$x=5.$$

Точка пересечения графиков $$y=\frac{1}{x}$$ и $$y=1$$: $$\frac{1}{x}=1,$$ откуда $$x=1.$$

На отрезке $$[1;5]$$ имеем $$1\ge \frac{1}{x},$$ значит

$$S=\int_{1}^{5}\left(1-\frac{1}{x}\right)\,dx =\left(x-\ln|x|\right)\Big|_{1}^{5} =(5-\ln 5)-(1-\ln 1).$$

$$S=4-\ln 5.$$

Ответ: $$4-\ln 5.$$

в) Найдём площадь фигуры, ограниченной линиями $$y=\sqrt{x},$$ $$y=\frac{1}{x},$$ $$x=4.$$

Точка пересечения графиков: $$\sqrt{x}=\frac{1}{x},$$ откуда $$x=1.$$

На отрезке $$[1;4]$$ выполняется $$\sqrt{x}\ge \frac{1}{x},$$ поэтому

$$S=\int_{1}^{4}\left(\sqrt{x}-\frac{1}{x}\right)\,dx =\int_{1}^{4}\left(x^{1/2}-\frac{1}{x}\right)\,dx =\left(\frac{2}{3}x^{3/2}-\ln|x|\right)\Big|_{1}^{4}.$$

$$S=\left(\frac{2}{3}\cdot 4^{3/2}-\ln 4\right)-\left(\frac{2}{3}\cdot 1^{3/2}-\ln 1\right) =\frac{14}{3}-\ln 4.$$

$$S=4\frac{2}{3}-\ln 4.$$

Ответ: $$4\frac{2}{3}-\ln 4.$$

г) Найдём площадь фигуры, ограниченной линиями $$y=-\frac{1}{x},$$ $$y=-1,$$ $$x=e.$$

Точка пересечения графиков: $$-\frac{1}{x}=-1,$$ откуда $$x=1.$$

На отрезке $$[1;e]$$ имеем $$-\frac{1}{x}\ge -1,$$ значит

$$S=\int_{1}^{e}\left(-\frac{1}{x}-(-1)\right)\,dx =\int_{1}^{e}\left(1-\frac{1}{x}\right)\,dx =\left(x-\ln|x|\right)\Big|_{1}^{e}.$$

$$S=(e-\ln e)-(1-\ln 1)=e-2.$$

Ответ: $$e-2.$$